Question

【题目】如图，已知AB是的直径，点P在BA的延长线上，PD切于点D，过点B作，交PD的延长线于点C，连接AD并延长，交BE于点E．

(Ⅰ)求证：AB=BE；

(Ⅱ)连结OC，如果PD=2，∠ABC=60°，求OC的长．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ).

【解析】

(Ⅰ)连接OD，由PD切 O于点D，得到OD⊥PD，由于BE⊥PC，得到OD∥BE，得出∠ADO=∠E，根据等腰三角形的性质和等量代换可得结论；(Ⅱ)由平行线的性质可得∠DOP=60°，利用三角函数可求出OD、OP、PC的长，即可得CD的长，利用勾股定理求出OC的长即可.

(Ⅰ)连接，

∵PD切于点，

∴．

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴．

(Ⅱ)∵，，

∴．

∵，

∴，

∴．

∴OD=2，

∴，

∴．

∵，

∴，

∴，

∴DC=PC-PD=．

在中，，

∴，

∴．