Question

【题目】如图，是的直径，为上一点连接，作交于点，点在的延长线上，经过点，且．

(1)求证；是的切线；

(2)若，的半径为1，求阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）连接OC，根据垂直的定义得到∠AOF=90°，根据三角形的内角和得到∠ACE=90°+∠A，根据等腰三角形的性质得到∠OCE=90°，得到OC⊥CE，于是得到结论；
（2）根据圆周角定理得到∠ACB=90°，推出∠ACO=∠BCE，推出∠E=30°，利用30°直角三角形三边比关系得到CE=，再根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．

解：（1）连接OC，

∵OF⊥AB，
∴∠AOF=90°，
∴∠A+∠AFO+90°=180°，
∵∠ACE+∠AFO=180°，
∴∠ACE=90°+∠A，
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∴∠ACE=90°+∠ACO=∠ACO+∠OCE，
∴∠OCE=90°，
∴OC⊥CE，
∴EM是⊙O的切线；

（2）连接BC,

∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠BCO=∠BCE+∠BCO=90°，
∴∠ACO=∠BCE，
∵∠A=∠E，
∴∠A=∠ACO=∠BCE=∠E，
∴∠ABC=∠BCO+∠E=2∠A，
∴∠A=30°，

∴∠E=30°，
∴CE=OC=OB=

∴=