Question

【题目】如图，二次函数的图像与坐标轴分别交于、、三点，其中，点在轴正半轴上，连接、．点从点出发，沿向点移动；同时点从点出发，沿轴向点移动，它们移动的速度都是每秒1个单位长度，当其中一点到达终点时，另一点随之停止移动，连接，设移动时间为．

（1）若时，与相似，求这个二次函数的表达式；

（2）若可以为直角三角形，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）．（2）

【解析】

（1）根据题意，可求得点坐标为（，），当时，可分别知道，，此时有两种情况，当时，根据对应边成比例可以求得的长度，即可知点坐标，再利用待定系数法，即可求得此时的函数表达式；当时，根据比例关系求得，不符合题意，故舍去；

（2）若可以为直角三角形，可知，根据比例关系可求得的长，设出点的坐标（，），可知，所以抛物线的对称轴，把点的坐标为（ ，）代入解析式，可知、之间的关系，消掉，即可求出的取值范围．

解：（1）把代入，得，

∴（，），

∵（，），

∴，，

∴ ，

∵，

∴，，

当时，，即，

∴，点坐标为（，）．

把，；，分别代入，

解得：，，

∴．

当时，，

即，∴（不符合题意，故舍去）．

综上，二次函数的表达式为．

（2）若可以为直角三角形，显然，

∴，则，设，

即，解得：．

设（，），则，

设抛物线对称轴为直线，

∵（，），∴ ①，

把 ，代入，得 ②，

把②代入①，且，

解得：．

故的取值范围是．