题目内容
已知二次函数y=x2+bx+c+1的图象过点P（2，1）．
（1）求证：c=-2b-4；
（2）求bc的最大值；
（3）若二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），△ABP的面积是
，求b的值．
（1）证明：将点P（2，1）代y=x2+bx+c+1，
得：1=22+2b+c+1，
整理得：c=-2b-4；
（2）解：∵c=-2b-4，
∴bc=b（-2b-4）=-2（b+1）2+2，
∴当b=-1时，bc有最大值2；
（3）解：由题意得：
，
∴AB=|x2-x1|=
，
即|x2-x1|2=
，
亦即
，
由根与系数关系得：x1+x2=-b，x1•x2=c+1=-2b-4+1=-2b-3，
代入，
得：
，
整理得：
，
解得：b1=-，b2=-
．
分析：（1）将P点坐标代入抛物线的解析式中，即可证得所求的结论；
（2）将（1）所得的b、c的关系式代入bc中，即可得到关于bc与b的函数关系式，根据函数的性质即可得到bc的最大值；
（3）可根据韦达定理，用b表示出AB的长，进而根据△ABP的面积及P点的纵坐标求出AB的具体值，即可得出关于b的方程，从而求得b的值．
点评：此题主要考查了二次函数图象上点的坐标意义、二次函数的最值、根与系数的关系等知识的综合应用能力．
得：1=22+2b+c+1，
整理得：c=-2b-4；
（2）解：∵c=-2b-4，
∴bc=b（-2b-4）=-2（b+1）2+2，
∴当b=-1时，bc有最大值2；
（3）解：由题意得：
，∴AB=|x2-x1|=
，即|x2-x1|2=
，亦即
，由根与系数关系得：x1+x2=-b，x1•x2=c+1=-2b-4+1=-2b-3，
代入
，得：
，整理得：
，解得：b1=-
，b2=-．分析：（1）将P点坐标代入抛物线的解析式中，即可证得所求的结论；
（2）将（1）所得的b、c的关系式代入bc中，即可得到关于bc与b的函数关系式，根据函数的性质即可得到bc的最大值；
（3）可根据韦达定理，用b表示出AB的长，进而根据△ABP的面积及P点的纵坐标求出AB的具体值，即可得出关于b的方程，从而求得b的值．
点评：此题主要考查了二次函数图象上点的坐标意义、二次函数的最值、根与系数的关系等知识的综合应用能力．
练习册系列答案
相关题目
已知二次函数y=x2+（2a+1）x+a2-1的最小值为0，则a的值是（ ）
A、
| ||
B、-
| ||
C、
| ||
D、-
|
已知二次函数y=-x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程-x2+2x+m=0的解为（ ）| A、x1=1，x2=3 | B、x1=0，x2=3 | C、x1=-1，x2=1 | D、x1=-1，x2=3 |
已知二次函数y=-x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（-1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）．