题目内容
22、已知二次函数y=x2+mx+m-5，
（1）求证：不论m取何值时，抛物线总与x轴有两个交点；
（2）求当m取何值时，抛物线与x轴两交点之间的距离最短．
（1）求证：不论m取何值时，抛物线总与x轴有两个交点；
（2）求当m取何值时，抛物线与x轴两交点之间的距离最短．
分析：（1）根据a2-4ab与0的大小关系来判断二次函数与x轴交点的个数，即m2-4（m-5）是否大于0，算出其取值范围即可；
（2）设函数与x轴两个交点的值为x1，x2，且x2＞x1，然后可根据函数两个值的和等于m，两个值的积等于m-5算出x2-x1的值，最后求出其最小值即可．
（2）设函数与x轴两个交点的值为x1，x2，且x2＞x1，然后可根据函数两个值的和等于m，两个值的积等于m-5算出x2-x1的值，最后求出其最小值即可．
解答：解：（1）根据a2-4ab与0的大小关系来判断二次函数与x轴交点的个数，
即m2-4（m-5）=m2-4m+20=（m-2）2+16＞0，
所以抛物线总与x轴有两个交点；
（2）设函数与x轴两个交点的值为x1，x2，且x2＞x1，
x1+x2=m，且x1•x2=m-5，
所以（x2-x1）2=（x1+x2）2-4x1x2=m2-4（m-5）=m2-4m+20=（m-2）2+16，
所以当m=2时，x2-x1有最小值4，
所以，抛物线与x轴两交点之间的距离最短为4．
即m2-4（m-5）=m2-4m+20=（m-2）2+16＞0，
所以抛物线总与x轴有两个交点；
（2）设函数与x轴两个交点的值为x1，x2，且x2＞x1，
x1+x2=m，且x1•x2=m-5，
所以（x2-x1）2=（x1+x2）2-4x1x2=m2-4（m-5）=m2-4m+20=（m-2）2+16，
所以当m=2时，x2-x1有最小值4，
所以，抛物线与x轴两交点之间的距离最短为4．
点评：本题主要考查对于a2-4ab与0的等量关系来判断二次函数与x轴交点的个数的判定，以及对于二次函数性质的掌握．
练习册系列答案
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已知二次函数y=x2+（2a+1）x+a2-1的最小值为0，则a的值是（ ）
A、
| ||
B、-
| ||
C、
| ||
D、-
|
已知二次函数y=-x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程-x2+2x+m=0的解为（ ）| A、x1=1，x2=3 | B、x1=0，x2=3 | C、x1=-1，x2=1 | D、x1=-1，x2=3 |
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