题目内容

22、已知二次函数y=x2+mx+m-5,
(1)求证:不论m取何值时,抛物线总与x轴有两个交点;
(2)求当m取何值时,抛物线与x轴两交点之间的距离最短.
分析:(1)根据a2-4ab与0的大小关系来判断二次函数与x轴交点的个数,即m2-4(m-5)是否大于0,算出其取值范围即可;
(2)设函数与x轴两个交点的值为x1,x2,且x2>x1,然后可根据函数两个值的和等于m,两个值的积等于m-5算出x2-x1的值,最后求出其最小值即可.
解答:解:(1)根据a2-4ab与0的大小关系来判断二次函数与x轴交点的个数,
即m2-4(m-5)=m2-4m+20=(m-2)2+16>0,
所以抛物线总与x轴有两个交点;

(2)设函数与x轴两个交点的值为x1,x2,且x2>x1
x1+x2=m,且x1•x2=m-5,
所以(x2-x12=(x1+x22-4x1x2=m2-4(m-5)=m2-4m+20=(m-2)2+16,
所以当m=2时,x2-x1有最小值4,
所以,抛物线与x轴两交点之间的距离最短为4.
点评:本题主要考查对于a2-4ab与0的等量关系来判断二次函数与x轴交点的个数的判定,以及对于二次函数性质的掌握.
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