Question

如图所示．如果一个矩形的宽与长的比等于(或近似等于0.618)，那么把这个矩形常说成是黄金矩形．如图商标图案就是一个长为10cm的黄金矩形，且E、F分别是长与宽的黄金分割点(CE＞BE，CF＞DF)．请判断△AEF的形状并求出它的面积．

Answer 1

答案：
解析：

如答图，因为ABCD是黄金矩形，所以＝,又AD＝10，得AB＝AD＝5－5，又因为E、F分别是BC、CD的黄金分割点，且CE＞BE，CF＞DF，所以＝，＝，而BC＝AD＝10，CD＝AB＝5－5，得CE＝BC＝5－5，BE＝BC－CE＝10－(5－5)＝15－5，CF＝·CD＝·(5－5)＝15－5, 　　在Rt△ABK和Rt△ECF中，AB＝CE＝5－5，∠B＝∠C＝，BE＝CF＝15－5， 　　∴△ABE≌△ECF 　　∴∠1＝∠2，AE＝EF 　　又因为∠1＋∠3＝， 　　所以∠2＋∠3＝， 　　即∠AEF＝ 　　在Rt△ABE中，根据勾股定理，得 　　AE2＝AB2＋BE2＝(5－5)2＋(15－5)2＝500－200， 　　S△AEF＝AE·EF＝AE2＝(500－200)＝250－100 　　所以，△AEF为等腰直角三角形，面积为(250－100)cm2．