Question

如图，AB是⊙O的直径，C是

BD

的中点，CE⊥AB于E，BD交CE于点F．
（1）求证：CF=BF；
（2）若CD=6，AC=8，求⊙O的半径．

Answer 1

分析：（1）首先延长CE交⊙O于点P，由垂径定理可证得∠BCP=∠BDC，又由C是

BD

的中点，易证得∠BDC=∠CBD，继而可证得CF=BF；
（2）由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠ACB=90°，然后由勾股定理求得AB的长，继而求得答案．

解答：（1）证明：延长CE交⊙O于点P，
∵CE⊥AB，
∴

BC

=

BP

，
∴∠BCP=∠BDC，
∵C是

BD

的中点，
∴CD=CB，
∴∠BDC=∠CBD，
∴∠CBD=∠BCP，
∴CF=BF；

（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵CD=6，AC=8，
∴BC=6，
在Rt△ABC中，AB=

AC2+BC2

=10，
∴⊙O的半径为5．

点评：此题考查了圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的判定以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．