Question

18．抛物线y=x²-4与x轴的两个交点分别为A、B（A在B左侧），与y轴的交点为C．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）将抛物线沿x轴正方向平移t个单位（t＞0），同时将直线l：y=3x沿y轴正方向平移t个单位．平移后的直线为l'，平移后A、B的对应点分别为A'、B'．当t为何值时，在直线l'上存在点P，使得△A'B'P是以A'B'为直角边的等腰直角三角形？

Answer 1

分析 （1）令y=0，即可求出A、B两点坐标，令x=0，可得点C坐标．
（2）根据平移的性质，可用t表示出直线l′的解析式以及A′、B′的坐标；由于抛物线在向右平移的过程中，开口大小没有变化，因此A′B′的长度和AB相等，由此可得到A′B′的长；若△A′B′P是以A'B'为直角边的等腰直角三角形，那么可有两种情况：①∠PA'B'=90°，此时PA′=A′B′；②∠PB'A'=90°，此时PB′=A′B′；根据PA′、PB′的表达式及A′B′的长，即可求出t的值．

解答 解：（1）令x=0，y=-4，得点C（0，-4），
令y=0，则x²-4=0，解得x=±2，
∴点A（-2，0），点B（2，0）．
∴A（-2，0），B（2，0），C（0，-4）．

（2）由题意，可得直线l'的解析式为y=3x+t，A'（t-2，0），B'（t+2，0），A'B'=AB=4
∵△A'B'P为以A'B'为直角边的等腰直角三角形，
∴当∠PA'B'=90°时，点P的坐标为（t-2，4）或（t-2，-4）
∴|3（t-2）+t|=4
解得t=$\frac{5}{2}$或t=$\frac{1}{2}$，
当∠PB'A'=90°时，点P的坐标为（t+2，4）或（t+2，-4）
∴|3（t+2）+t|=4
解得t=-$\frac{5}{2}$或t=-$\frac{1}{2}$（不合题意，舍去）
综上所述，t=$\frac{5}{2}$或t=$\frac{1}{2}$．

点评 此题是二次函数的综合题，涉及到根的判别式、勾股定理、二次函数解析式的确定、等腰直角三角形的判定和性质等知识，需注意的是在等腰直角三角形的直角顶点不确定的情况下，要分类讨论，以免漏解．