题目内容

如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的象经过A（-1，0）、B（3，0）、N（2，精英家教网3）三点，且与y轴交于点C．
（1）求这个二次函数的解析式，并写出顶点M及点C的坐标；
（2）若直线y=kx+d经过C、M两点，且与x轴交于点D，试证明四边形CDAN是平行四边形；
（3）点P是这个二次函数的对称轴上一动点，请探索：是否存在这样的点P，使以点P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
分析：（1）根据题意将点A，B，N的坐标代入函数解析式，组成方程组即可求得；
（2）求得点C，M的坐标，可得直线CM的解析式，可求得点D的坐标，即可得到CD=3
2
，AN=3
2
，AD=2，CN=2，根据平行四边形的判定定理可得四边形CDAN是平行四边形；
（3）假设存在这样的点P，使以点P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，因为这个二次函数的对称轴是直线x=1，故可设P（1，y0），则PA是圆的半径且PA2=y02+22，
过P做直线CD的垂线，垂足为Q，则PQ=PA时以P为圆心的圆与直线CD相切．
由第（2）小题易得：△MDE为等腰直角三角形，故△PQM也是等腰直角三角形，继而求得满足题意的点P存在，其坐标为（1，-4+2
6
）或（1，-4-2
6
）．
解答：解：（1）因为二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（-1，0）、B（3，0）、N（2，3）
所以，可建立方程组：
0=a-b+c
0=9a+3b+c
3=4a+2b+c
，
解得：
a=-1
b=2
c=3

所以，所求二次函数的解析式为y=-x2+2x+3，
所以，顶点M（1，4），点C（0，3）．

（2）直线y=kx+d经过C、M两点，
所以
d=3
k+d=4
，
即k=1，d=3，
直线解析式为y=x+3．
令y=0，得x=-3，
故D（-3，0）
∴CD=3
2
，AN=3
2
，AD=2，CN=2
∴CD=AN，AD=CN（2分）
∴四边形CDAN是平行四边形．

（3）假设存在这样的点P，使以点P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，
因为这个二次函数的对称轴是直线x=1，
故可设P（1，y0），
则PA是圆的半径且PA2=y02+22，
过P做直线CD的垂线，垂足为Q，则PQ=PA时以P为圆心的圆与直线CD相切．
由第（2）小题易得：△MDE为等腰直角三角形，
故△PQM也是等腰直角三角形，
由P（1，y0）得PE=y0，PM=|4-y0|，PQ=
PM
2
=
|4-y0|
2
，
由PQ2=PA2得方程：
(4-y0)2
2
=y02+22，
解得y0=-4±2
6
，符合题意，
所以，满足题意的点P存在，其坐标为（1，-4+2
6
）或（1，-4-2
6
）．
点评：此题考查了二次函数与平行四边形以及圆的知识的综合应用，要注意待定系数法求函数解析式，还要注意数形结合思想的应用．
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2
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