题目内容

如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，1），直线y=kx+m的图象与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点坐标为（
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，
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），B点在y轴上，直线与x轴的交点为F，P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于E点．
（1）求k，m的值及这个二次函数的解析式；
（2）设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在点P，使得以点P、E、D为顶点的精英家教网三角形与△BOF相似？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
分析：（1）已知顶点C（1，1），设抛物线顶点式y=a（x-1）2+1，将A(
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2
，
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)代入可求抛物线解析式，从而可得B点坐标，已知A，B两点坐标，直线y=kx+m的图象经过A、B两点，代入可求k，m的值；
（2）点P在直线y=
1
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x+2故P（x，
1
2
x+2），点E在抛物线y=x2-2x+2上，故E（x，x2-2x+2），∴h=PE=h=
1
2
x+2-（x-1）2-1．又P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），∴0＜x＜
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；
（3）在P点运动过程中，∠DPE只可能是锐角或钝角，故直角顶点只有两种对应关系，即O对D，O对E，分两种情况，写成相似比，即△PDE∽△BOF，△PED∽△BOF，分别求解．
解答：解：（1）设抛物线解析式为y=a（x-1）2+1
∵A(
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，
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)在抛物线上精英家教网
∴
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=a（
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-1）2+1
∴a=1
∴二次函数解析式为y=（x-1）2+1（或y=x2-2x+2）
令x=0得：y=2
即B（0，2）在y=kx+m上
∴m=2
把(
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2
，
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)代入y=kx+2，
得k=
1
2
；

（2）h=
1
2
x+2-（x-1）2-1
=-x2+
5
2
x（0＜x＜
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）；

（3）假设存在点P，①当∠PED=∠BOF=90°时，由题意可得△PED∽△BOF
则
-x2+
5
2
x
2
=
x-1
4

∴x=
2±
6
2
，
∵0＜x＜
5
2
，
∴x=
2-
6
2
（舍去）
而x=
2+
6
2
＜
5
2

∴存在点P，其坐标为(
2+
6
2
，
10+
6
4
)
②当∠PDE=∠BOF=90°时，
过点E作EK垂直于抛物线的对称轴，垂足为K．
由题意可得：△PDE∽△EKD，△PDE∽△BOF
∴△EKD∽△BOF
则
5
2
-(x2-2x+2)
4
=
x-1
2

∴x=±
10
2
．
∵0＜x＜
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，x=-
10
2
舍去
而x=
10
2
＜
5
2
，
∴存在点P，其坐标为(
10
2
，
8+
10
4
)
综上所述存在点P满足条件，其坐标为
(
2+
6
2
，
10+
6
4
)，(
10
2
，
8+
10
4
)．
点评：本题考查了一次函数、二次函数解析式的求法，用坐标表示线段的长，及相似条件的探求，具有较强的综合性．
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（1）求m的值及这个二次函数的关系式；
（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由．
（2012•高淳县一模）如图，已知二次函数y=-
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x2+mx+3的图象经过点A（-1，
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）．
（1）求该二次函数的表达式，并写出该函数图象的顶点坐标；
（2）点P（2a，a）（其中a＞0），与点Q均在该函数的图象上，且这两点关于图象的对称轴对称，求a的值及点Q到y轴的距离．
（2013•江宁区二模）如图，已知二次函数y=ax2+bx+3的图象过点A（-1，0），对称轴为过点（1，0）且与y轴平行的直线．
（1）求该二次函数的关系式；
（2）结合图象，解答下列问题：
①当x取什么值时，该函数的图象在x轴上方？
②当-1＜x＜2时，求函数y的取值范围．
如图，已知二次函数图象的顶点坐标为M（2，0），直线y=x+2与该二次函数的图象交于A、B两点，其中点A在y轴上，P为线段AB上一动点（除A，B两端点外），过P作x轴的垂线与二次函数的图象交于点Q设线段PQ的长为l，点P的横坐标为x．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求l与x之间的函数关系式，并求出l的取值范围；
（3）线段AB上是否存在一点P，使四边形PQMA为梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，已知二次函数y=（x-1）2的图象的顶点为C点，图象与直线y=x+m的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在y轴上．
（1）求m的值；
（2）点P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过点P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由．

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