Question

如图，点P是双曲线上一动点，过点P作x轴、y轴的垂线，分别交x轴、y轴于A、B两点，交双曲线y= （0＜k₂＜|k₁|）于E、F两点．
（1）图1中，四边形PEOF的面积S₁=_____ （用含k₁、k₂的式子表示）；
（2）图2中，设P点坐标为（-4，3）．
     ①判断EF与AB的位置关系，并证明你的结论；
     ②记，S₂是否有最小值？若有，求出其最小值；若没有，请说明理由．

Answer 1

（1）k₁+k₂；
（2）① EF∥AB
证明：如图，由题意可得A（-4，0），B（0，3），， ．
    ∴PA=3，PE=，PB=4，PF=．
    ∴，
     ∴．
  又∵∠APB=∠EPF．
    ∴△APB ∽△EPF，
    ∴∠PAB=∠PEF．
    ∴EF∥AB．
     ②S₂没有最小值，
  理由如下：过E作EM⊥y轴于点M，过F作FN⊥x轴于点N，两线交于点Q．
    由上知M（0，），N（，0），Q（，）．
    而S_△EFQ= S_△PEF，
    ∴S₂=S_△PEF-S_△OEF=S_△EFQ-S_△OEF=S_△EOM+S_△FON+S_矩形OMQN
           =
           ==．
     当时，S₂的值随k₂的增大而增大，而0＜k₂＜12． ∴0＜S₂＜24，S₂没有最小值．