题目内容

如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为(4，3)．平行于对角线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M、N，直线m运动的时间为t(秒)．

(1)点A的坐标是________，点C的坐标是________；

(2)当t＝________秒或________秒时，MN＝AC；

(3)设△OMN的面积为S，求S与t的函数关系式；

(4)探求(3)中得到的函数S有没有最大值？若有，求出最大值；若没有，要说明理由．

答案：
解析：

　　解：(1)(4，0)，(0，3)；　2分

　　(2)2，6；　4分

　　(3)当0＜t≤4时，OM＝t．

　　由△OMN∽△OAC，得，

　　∴ON＝，S＝．　6分

　　当4＜t＜8时，

　　如图，∵OD＝t，∴AD＝t－4．

　　方法一：

　　由△DAM∽△AOC，可得AM＝，∴BM＝6－．　7分

　　由△BMN∽△BAC，可得BN＝＝8－t，∴CN＝t－4．　8分

　　S＝矩形OABC的面积－Rt△OAM的面积－Rt△MBN的面积－Rt△NCO的面积

　　＝12－－(8－t)(6－)－

　　＝．　10分

　　方法二：

　　易知四边形ADNC是平行四边形，∴CN＝AD＝t－4，BN＝8－t．　7分

　　由△BMN∽△BAC，可得BM＝＝6－，∴AM＝．　8分

　　以下同方法一．

　　(4)有最大值．

　　方法一：

　　当0＜t≤4时，

　　∵抛物线S＝的开口向上，在对称轴t＝0的右边，S随t的增大而增大，

　　∴当t＝4时，S可取到最大值＝6；　11分

　　当4＜t＜8时，

　　∵抛物线S＝的开口向下，它的顶点是(4，6)，∴S＜6．

　　综上，当t＝4时，S有最大值6．　12分

　　方法二：

　　∵S＝．

　　∴当0＜t＜8时，画出S与t的函数关系图像，如图所示．　11分

　　显然，当t＝4时，S有最大值6．　12分

　　说明：只有当第(3)问解答正确时，第(4)问只回答“有最大值”无其它步骤，可给1分；否则，不给分．


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（1）求点B的坐标；
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BD
AB
=
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，求这时点P的坐标．
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5
29
5
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．
如图，在平面直角坐标中，等腰梯形ABCD的下底在x轴上，且B点坐标为（4，0），D点坐标为（0，3），则AC长为
5
5
．
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k
x
图象上一点，PA=OA，S△PAO=10，则反比例函数y=
k
x
的解析式为（　　）
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（3）当△OCP是等腰三角形时，请写出点P的坐标（不要求过程，只需写出结果）．

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