如图.Rt△OA0A1在平面直角坐标系内.∠OA0A1=90°.∠A0OA1=30°.以OA1为直角边向外作Rt△OA1A2.使∠OA1A2=90°.∠A1OA2=30°.以OA2为直角边向外作Rt△OA2A3.使∠OA2A3=90°.∠A2OA3=30°.按此方法进行下去.得到Rt△OA3A4.Rt△OA4A5.-.Rt△OA2016A2017.若点A0(1.0).则点A2017的横坐� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

17．

如图，Rt△OA₀A₁在平面直角坐标系内，∠OA₀A₁=90°，∠A₀OA₁=30°，以OA₁为直角边向外作Rt△OA₁A₂，使∠OA₁A₂=90°，∠A₁OA₂=30°，以OA₂为直角边向外作Rt△OA₂A₃，使∠OA₂A₃=90°，∠A₂OA₃=30°，按此方法进行下去，得到Rt△OA₃A₄，Rt△OA₄A₅，…，Rt△OA₂₀₁₆A₂₀₁₇，若点A₀（1，0），则点A₂₀₁₇的横坐标为（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²⁰¹⁶．

分析由含30°角的直角三角形的性质和勾股定理求出OA₁、OA₂，得出规律，即可得出结果．

解答解：∵∠OA₀A₁=90°，OA₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∠A₂OA₁=30°，
同理：OA₂=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²，…，OA_n=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）ⁿ，
∴OA₂₀₁₇的长度为（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²⁰¹⁷；
∵2017×30°÷360=168…1，
∴OA₂₀₁₇与OA₁重合，
∴点A₂₀₁₇的横坐标为（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²⁰¹⁷÷$\frac{\sqrt{3}}{2}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²⁰¹⁶．
故答案为：（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²⁰¹⁶．

点评本题考查了勾股定理、含30°角的直角三角形的性质；熟练掌握勾股定理，通过计算得出规律是解决问题的关键．

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