Question

如图，△ABC中，E是AC上一点，且AE=AB，∠EBC=∠BAC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，交EB于点F．
（1）求证：BC与⊙O相切；
（2）若AB=8，sin∠EBC=，求AC的长．

Answer 1

（1）证明：连接AF．
∵AB为直径，
∴∠AFB=90°．
∵AE=AB，
∴△ABE为等腰三角形．
∴∠BAF=∠BAC．
∵∠EBC=∠BAC，
∴∠BAF=∠EBC，
∴∠FAB+∠FBA=∠EBC+∠FBA=90°．
∴∠ABC=90°．
即AB⊥BC，
∴BC与⊙O相切．

（2）解：过E作EG⊥BC于点G，
∵∠BAF=∠EBC，
∴sin∠BAF=sin∠EBC=．
在△AFB中，∠AFB=90°，
∵AB=8，
∴BF=AB•sin∠BAF=8×=2，
∴BE=2BF=4．
在△EGB中，∠EGB=90°，
∴EG=BE•sin∠EBC=4×=1，
∵EG⊥BC，AB⊥BC，
∴EG∥AB，
∴△CEG∽△CAB，
∴．
∴，
∴CE=，
∴AC=AE+CE=8+=．
分析：（1）首先连接AF，由AB为直径，根据圆周角定理，可得∠AFB=90°，又由AE=AB，∠EBC=∠BAC，根据等腰三角形的性质，可得∠BAF=∠EBC，继而证得BC与⊙O相切；
（2）首先过E作EG⊥BC于点G，由三角函数的性质，可求得BF的长，易证得△CEG∽△CAB，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．
点评：此题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、等腰三角形的性质以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．