Question

【题目】定义：两条长度相等，且它们所在的直线互相垂直，我们称这两条线段互为等垂线段．如图①，直线y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点 B．

（1）若线段AB与线段BC互为等垂线段．求A、B、C的坐标．

（2）如图②，点D是反比例函数y＝﹣的图象上任意一点，点E（m，1），线段DE与线段AB互为等垂线段，求m的值；

（3）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A、B两点．

①用含a的代数式表示b．

②点P为平面直角坐标系内的一点，在抛物线上存在点Q，使得线段PQ与线段AB互为等垂线段，且它们互相平分，请直接写出满足上述条件的a值．

Answer 1

【答案】（1）点A、B的坐标分别为（﹣2，0）、（0，4），点C（4，2）；（2）m＝；（3）①b＝2a+2；②a＝﹣．

【解析】

（1）证明△AOB≌△CDB（AAS），则BD＝OA＝2，DC＝OB＝4，即可求解；

（2）设点D（n，﹣），则点H（n﹣2，1），点E（n﹣2+4，﹣﹣2），而点E（m，1），即可求解；

（3）①将点A、B的坐标代入二次函数表达式即可求解；②确定直线PQ的表达式为y＝﹣x+，则点G（3，0），则HG＝＝2，而HQ＝AB＝，即点Q是HG的中点，求出点Q（1，1），将点A、B、Q的坐标代入二次函数表达式即可求解．

（1）如图①，过点C作CD⊥y轴于点D，

y＝2x+4，令x＝0，则y＝4，令y＝0，则x＝﹣2，

故点A、B的坐标分别为（﹣2，0）、（0，4），

∵∠ABO+∠CBD＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，

∴∠BAO＝∠DBC，

∠AOB＝∠CDB＝90°，AB＝BC，

∴△AOB≌△CDB（AAS），

∴BD＝OA＝2，DC＝OB＝4，

∴点C（4，2）；

（2）如图②，由（1）知，△AOB≌△EHD（AAS），

则HE＝OB＝4，DH＝OA＝2，

设点D（n，﹣），则点H（n﹣2，1），点E（n﹣2+4，﹣﹣2），

而点E（m，1），

即：m＝n+2；﹣﹣2＝1，

解得：m＝；

（3）①将点A、B的坐标代入二次函数表达式得：，

故：b＝2a+2；

②如图③，PQ与BA交于点H，即点H是两条线段的中点，延长PQ交x轴于点G，

则点H（﹣1，2），直线AB表达式中的k值为2，则直线PQ表达式中的k值为﹣，

则直线PQ的表达式为：y＝﹣x+b，将点H坐标代入上式并解得：b＝，

则直线PQ的表达式为：y＝﹣x+，

则点G（3，0），则HG＝＝2，而HQ＝AB＝，

即点Q是HG的中点，则点Q（1，1），

将点A、B、Q的坐标代入二次函数表达式并解得：a＝﹣．