Question

【题目】如图①，抛物线与轴交于点，与轴交于点，将直线绕点逆时针旋转90°，所得直线与轴交于点．

（1）求直线的函数解析式；

（2）如图②，若点是直线上方抛物线上的一个动点

①当点到直线的距离最大时，求点的坐标和最大距离；

②当点到直线的距离为时，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①当点到直线的距离最大时，点的坐标是，最大距离是；②的值是或．

【解析】

（1）根据已知条件可计算出点A、B、C的坐标，再证明OA=OD，即可得D点的坐标，因此可得AD所在直线的解析式.

（2）①作轴交直线于点，设P点的横坐标为t,因为P在抛物线上因此可得纵坐标为，因为N点在直线AD上因此可得N，根据三角函数可得PH的长度，再利用二次函数可得PH取最大值时t的值,进而计算出P点的坐标; ② 解二元一次方程即可得到t的值，再根据t的值计算即可.

解：（1）当时，则点的坐标为，

当时，，解得，，则点的坐标为，点的坐标为，

∴，

∴，

∵将直线绕点逆时针旋转得到直线，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴点的坐标为，

设直线的函数解析式为

，得，

即直线的函数解析式为；

（2）作轴交直线于点，如图①所示，

设点的坐标为，则点的坐标为，

∴，

∴轴，

∴轴，

∴，

作于点，则，

∴，

∴当时，取得最大值，此时点P的坐标为，

即当点到直线的距离最大时，点的坐标是，最大距离是；

②当点到直线的距离为时，如图②所示，

则，

解得：，

则的坐标为，的坐标为，

当的坐标为，则，

∴；

当的坐标为，则，

∴；

由上可得，的值是或．