Question

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，点E在BC上，且AB∥DE．
（1）试判断四边形ABED的形状，并说明理由；
（2）连接BD，若EC=BE，
①求∠DBC的度数；
②连接AE交BD于点F，若DC=4cm，求四边形ABED的面积．（结果精确到0.01cm²）

Answer 1

分析：（1）推出平行四边形ABDE，根据菱形的判定推出即可；
（2）①求出等边三角形DEC，求出∠DEC=60°，DE=BE，推出∠DBE=∠EDB，根据∠DBE+∠EDB=60°求出即可；②根据DF=BF，BE=EC，得到EF=2，求出AE=4，求出∠BDC=90°，求出BC，根据勾股定理求出BD，代入

1

2

AE×BD求出即可．

解答：解：（1）四边形ABED是菱形，
理由是：∵AD∥BC，DE∥AB，
∴四边形ABED是平行四边形，
∵AB=AD，
∴平行四边形ABED是菱形．


（2）①∵菱形ABED，
∴BE=DE=AB=DC，
∵BE=EC，
∴∠DBE=∠EDB，DE=EC=DC，
∴△DEC是等边三角形，
∴∠DEC=60°，
∴∠DBE=∠EDB=

1

2

∠DEC=30°，
即∠DBC=30°．

②∵四边形ABED是平行四边形，
∴BF=DF，
∵BE=EC，
∴EF=

1

2

DC=2，
∴AE=2EF=4，
∵∠等边三角形DEC，
∴∠C=∠CDE=60°，
∵∠DBC=∠EDB=30°，
∴∠BDC=90°，
∴BC=8
由勾股定理得：BD=4

3

，
∴菱形ABED的面积是

1

2

×AE×BD=

1

2

×4×4

3

=8

3

≈13.86．

点评：本题综合考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，勾股定理，三角形的中位线，含30度角的直角三角形等知识点的运用，主要考查学生分析问题和解决问题的能力，题目比较典型，是一道比较好的题目．