Question

已知二次函数y=x²﹣2mx+m²+3（m是常数）．

（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；

（2）把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？

Answer 1

（1）证明：∵△=（﹣2m）²﹣4×1×（m²+3）=4m²﹣4m²﹣12=﹣12＜0，

∴方程x²﹣2mx+m²+3=0没有实数解，

即不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；

（2）解：y=x²﹣2mx+m²+3=（x﹣m）²+3，

把函数y=（x﹣m）²+3的图象延y轴向下平移3个单位长度后，得到函数y=（x﹣m）²的图象，它的 顶点坐标是（m，0），

因此，这个函数的图象与x轴只有一个公共点，

所以，把函数y=x²﹣2mx+m²+3的图象延y轴向下平移3个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点．