Question

6．如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠BAC=∠CDF．
（1）求证：BC=2CE；
（2）求证：AM=DF+ME．

Answer 1

分析 （1）由条件可证得CE=DE，结合菱形的性质可证得BC=2CE；
（2）分别延长AB、DF交于点G，可证△CDF≌△BGF，则可证得GF=DF，结合条件可证得AM=GM，MF=ME，则可证得结论．

解答 证明：
（1）∵四边形ABCD为菱形，
∴AB∥CD，且BC=CD，
∴∠BAC=∠ACD，且∠BAC=∠CDF，
∴∠ACD=∠CDF，
∴CM=DM，

∵ME⊥CD，
∴CE=DE，
∴BC=CD=2CE；
（2）如图，分别延长AB，DF交于点G，

∵AB∥CD，
∴∠G=∠CDF=∠BAC，
∴MG=MA，
在△CDF和△BGF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠CDF=∠G}\\{∠CFD=∠BFG}\\{CF=BF}\end{array}\right.$
∴△CDF≌△BGF（AAS），
∴GF=DF，
在△CEM和△CFM中
$\left\{\begin{array}{l}{CF=CE}\\{∠FCM=∠ECM}\\{CM=CM}\end{array}\right.$
∴△CEM≌△CFM（SAS），
∴ME=MF，
∴AM=GM=GF+MF=DF+ME．

点评 本题主要考查菱形的性质，掌握菱形的对边平行、四条边都相等及对角线平分每一组对角是解题的关键．