Question

如图，抛物线y=ax² +bx+c经过点A(-3，0)、C(0，4)，点B在抛物线上，CB

∥X轴．且AB平分∠CAO.

    (1)求抛物线的解析式．

    (2)线段AB上有一动点P，过P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值；

(3)抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM是以AB为直角边的直角三角形？如果存在，直接写出点M的坐标；如果不存在，说明理由，

Answer 1

解：(1)A（-3，0）、C(0，4)，所以AC=5,OC=4．

∵AB平分∠CAO  ∴∠CAB=∠BAO

∵CB∥x轴∴∠CBA=∠BAO   

∴∠CAB=∠CBA

∴AC=BC=5

∴B(5,4)………………………………………1分

 A(-3，0)、C(0，4)、B(5，4)代入y=ax²+bx+c得：

   0= 9a-3b+c

4=c  ………………………………………2分

4=25a+5b+c

解得：a=，b=，c=4．

所以y=x²+x+4……………………………3分

 (2)设AB的解析式为：y=kx+b，……………4分

把A（-3,0）、B(5，4)代入    0=-3k+b…………………5分

                             4=5k+b

解得： k=．所以AB的解析式为y=x+；……………………6分

B=.

可设P(x,x+)，Q(x,x²+x+4)，

则PQ=x²+x+4-(x+)=x²+x+=(x-1)²+…………7分

当x=1时，PQ最大，且最大值为．…………8分

    (3)存在．M的坐标为（，9）和（，-11）…