Question

17．已知关于x的一元二次方程x²+（k-5）x+1-k=0，其中k为常数．
（1）求证：无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；
（2）已知函数y=x²+（k-5）x+1-k的图象不经过第三象限，求k的取值范围；
（3）若原方程的一个根大于3，另一个根小于3，求k的最大整数值．

Answer 1

分析 （1）求出方程的判别式△的值，利用配方法得出△＞0，根据判别式的意义即可证明；
（2）由于二次函数y=x²+（k-5）x+1-k的图象不经过第三象限，又△=（k-5）²-4（1-k）=（k-3）²+12＞0，所以抛物线的顶点在x轴的下方经过一、二、四象限，根据二次项系数知道抛物线开口向上，由此可以得出关于k的不等式组，解不等式组即可求解；
（3）设方程的两个根分别是x₁，x₂，根据题意得（x₁-3）（x₂-3）＜0，根据一元二次方程根与系数的关系求得k的取值范围，再进一步求出k的最大整数值．

解答 （1）证明：∵△=（k-5）²-4（1-k）=k²-6k+21=（k-3）²+12＞0，
∴无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；

（2）解：∵二次函数y=x²+（k-5）x+1-k的图象不经过第三象限，
∵二次项系数a=1，
∴抛物线开口方向向上，
∵△=（k-3）²+12＞0，
∴抛物线与x轴有两个交点，
设抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x₁，x₂，
∴x₁+x₂=5-k＞0，x₁•x₂=1-k≥0，
解得k≤1，
即k的取值范围是k≤1；

（3）解：设方程的两个根分别是x₁，x₂，
根据题意，得（x₁-3）（x₂-3）＜0，
即x₁•x₂-3（x₁+x₂）+9＜0，
又x₁+x₂=5-k，x₁•x₂=1-k，
代入得，1-k-3（5-k）+9＜0，
解得k＜$\frac{5}{2}$．
则k的最大整数值为2．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，根的判别式，根与系数的关系，综合性较强，难度适中．