Question

2．在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在直线CD上，直线OE与边AD所在的直线交于点P．若菱形的边长为12，且EC=2DE，则AP=24或8．

Answer 1

分析 分两种情形画出图形分别求解①如图1中，①当E在CD上时，CE=2DE，取CD中点H，连接OH．②如图2中，当E在CD的延长线上时，CE=2DE，取CD中点H，连接OH．

解答 解：如图1中，①当E在CD上时，CE=2DE，取CD中点H，连接OH．

∵四边形ABCD是菱形，
∴AO=OC，
∴OH∥AP，OH=$\frac{1}{2}$AD=6，
∵OH∥DP，
∴$\frac{OH}{DP}$=$\frac{EH}{DE}$=$\frac{1}{2}$，
∴DP=12，
∴AP=AD+DP=24．
如图2中，当E在CD的延长线上时，CE=2DE，取CD中点H，连接OH．

∵PD：OH=PD：EH=2：3，
∴DP=4，
∴AP=AD-DP=12-4=8，
故答案为24或8

点评 本题考查菱形的性质、三角形中位线定理、平行线分线段成本定理定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．