Question

在四边形ABCD中，AB，BC，CD，DA的中点分别为P，Q，M，N；
（1）如图1，试判断四边形PQMN为怎样的四边形，并证明你的结论．
（2）若在AB上取一点E，连结DE，CE，恰好△ADE和△BCE都是等边三角形．
①判断此时四边形PQMN的形状，并证明你的结论；
②当AE=6，EB=3，求此时四边形PQMN的周长．

Answer 1

考点：中点四边形

专题：

分析：（1）连结AC、BD．利用三角形中位线定理判定四边形PQMN的对边平行且相等，易证该四边形是平行四边形；
（2）①设△ADE的边长是x，△BCE的边长是y，由于DB²=（

1

2

x+y）²+（

3

2

x）²=x²+xy+y²，AC=（x+

1

2

y）²+（

3

2

y）²=x²+xy+y²，可得平行四边形PQMN的对角线相等，从而得出平行四边形PQMN是菱形；
②如图2，过点D作DF⊥AB于F，则通过解三角形求得DF=3

3

，由勾股定理得到DB．由①知四边形PQMN是菱形，可计算得周长是6

7

．

解答：解：（1）连结AC、BD．
∵PQ为△ABC的中位线，
∴PQ∥AC，PQ=

1

2

AC，
同理MN∥AC．MN=

1

2

AC．
∴MN=PQ，MN∥PQ，
∴四边形PQMN为平行四边形；

（2）①四边形PQMN是菱形；
理由如下：设△ADE的边长是x，△BCE的边长是y，
∴DB²=（

1

2

x+y）²+（

3

2

x）²=x²+xy+y²，AC²=（x+

1

2

y）²+（

3

2

y）²=x²+xy+y²，
∵平行四边形PQMN的对角线相等，
∴平行四边形PQMN是菱形；
②过点D作DF⊥AB于F，则DF=3

3

又∵DF²+FB²=DB²
∴DB=3

7

∴由①知四边形PQMN是菱形，可计算得周长是6

7

．

点评：本题考查了中点四边形以及菱形的判定和性质、平行四边形的判定和性质，解题时，利用了三角形中位线的性质定理．