Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是BC边上一点，AC=2，CD=1，设∠CAD=α．
（1）试写出α的四个三角函数值；
（2）若∠B=α，求BD的长？

Answer 1

分析：（1）根据勾股定理和锐角三角函数的概念来求解．
（2）由∠B=α，∠C=90°，得△ABC∽△DAC．再根据相似三角形中对应边成比例求解

解答：解：在Rt△ACD中，
∵AC=2，DC=1，
∴AD=

AC2-DC2

=

5

．
（1）sinα=

DC

AD

=

1

5

=

5

5

，cosα=

AC

AD

=

2

5

=

2 5

5

，tanα=

CD

AC

=

1

2

，cotα=

AC

CD

=2．

（2）∵∠B=α，∠C=90°，
∴△ABC∽△DAC．
∴

AC

BC

=

DC

AC

．
∴BC=

AC2

DC

=4．
∴BD=BC-CD=4-1=3．

点评：考查综合应用解直角三角形、直角三角形性质和相似三角形的性质，进行逻辑推理能力和运算能力．