Question

3．已知抛物线y=ax²+bx+3（a≠0）经过A（3，0）、B（4，1）两点，且与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图（1），设抛物线与x轴的另一个交点为D，在抛物线的对称轴上找一点H，使△CDH的周长最小，求出H点的坐标并求出最小周长值．
（3）如图（2），连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合），经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F，当△OEF的面积取得最小值时，求面积的最小值及E点坐标．

Answer 1

分析 （1）把点A（3，0），B（4，1）的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求二次函数解析式；
（2）如图1中，连接DC、AC，AC交对称轴于H，连接DH，此时△CDH的周长最小．
（3）如图2中，作BD⊥OA于D．首先证明△EOF是等腰直角三角形，当OE⊥AC时，△EOF的面积最小．

解答 解：（1）将点A（3，0），B（4，1）代入可得：
$\left\{\begin{array}{l}{9a+3b+3=0}\\{14a+4b+3=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
故函数解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x+3；


（2）如图1中，连接DC、AC，AC交对称轴于H，连接DH，此时△CDH的周长最小．

∵A、D关于对称轴对称，HD=HA，x
∴DH+CH=AC=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，CD=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∴△CDH的周长的最小值为5+$\sqrt{13}$，
∵A（3，0），C（3，0），
∴直线AC的解析式为y=-x+3，
∴H（$\frac{5}{2}$，$\frac{1}{2}$）．

（3）如图2中，作BD⊥OA于D．

∵A（3，0），C（0，3），B（4，1），
∴OA=OC=3，AD=BD=1，
∴∠OAC=∠BAD=45°，
∵∠OAF=∠BAD=45°，
∴∠EAF=90°，
∴EF是△AEO的外接圆的直径，
∴∠EOF=90°，
∴∠EFO=∠EAO=45°，
∴△EOF是等腰直角三角形，
∴当OE最小时，△EOF的面积最小，
∵OE⊥AC时，OE最小，OC=OA，
∴CE=AE，OE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴E（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），S_△EOF=$\frac{1}{2}$•$\frac{3\sqrt{2}}{2}$•$\frac{3\sqrt{2}}{2}$=$\frac{9}{4}$．
∴当△OEF的面积取得最小值时，面积的最小值为$\frac{9}{4}$，E点坐标（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$）．

点评 题主要考查了二次函数的综合，主要利用了抛物线与x轴的交点间的距离的表示，抛物线上点的坐标特征，直角三角形的判定，在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等的性质，（3）题，根据点A、B、C的坐标求出45°角，从而得到△EOF是等腰直角三角形解题的关键，题目构思灵活，数据设计巧妙．