Question

【题目】如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，CD⊥AB于点D，CD＝3．点P从点A出发沿线段AC以每秒1个单位的速度向终点C运动．过点P作PQ∥AB交BC于点Q，过点P作AC的垂线，过点Q作AC的平行线，两线交于点E．设点P的运动时间为t秒．

（1）求线段PQ的长．（用含t的代数式表示）

（2）当点E落在边AB上时，求t的值．

（3）当△PQE与△ACD重叠部分图形是四边形时，直接写出t的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）PQ＝5﹣t；（2）t＝；（3）0＜t≤1或≤t＜5

【解析】

（1）由题意得出PC＝AC﹣AP＝5﹣t，由PQ∥AB，得出△PQC∽△ABC，利用相似三角形对应边成比例即可求得PQ＝5﹣t；

（2）当点E落在边AB上时，在中，求得AD＝4，cos∠CAD＝，在中，cos∠CAD，推出AE，由PQ∥AB，EQ∥AC，得出四边形AEQP是平行四边形，则PQ＝AE，即5﹣t＝，即可得出结果；

（3）当点E、D、Q三点共线时，由PQ∥AB，EQ∥AC，得出四边形ADQP是平行四边形，则PQ＝AD＝4，即5﹣t＝4，得出t＝1，则当△PQE与△ACD重叠部分图形是四边形时，0＜t≤1；当点E落在边AB上时，由（2）得t＝，AE＝PQ＝＜AD，得出点P在到达点C前，点E始终在CD的左边，即≤t＜5．

（1）∵AB＝AC＝5，点P从点A出发沿线段AC以每秒1个单位的速度向终点C运动，点P的运动时间为t秒，

∴PC＝AC﹣AP＝5﹣t，

∵PQ∥AB，

∴△PQC∽△ABC，

∴

即：

∴PQ＝5﹣t；

（2）当点E落在边AB上时，如图1所示：

在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，

AD，

∴cos∠CAD，

在Rt△APE中，∠APE＝90°，cos∠CAD，

∴，

∴AEAP，

∵PQ∥AB，EQ∥AC，

∴四边形AEQP是平行四边形，

∴PQ＝AE，

即：5﹣t＝，

解得：t；

（3）当点E、D、Q三点共线时，如图2所示：

∵PQ∥AB，EQ∥AC，

∴四边形ADQP是平行四边形，

∴PQ＝AD＝4，

∴5﹣t＝4，

∴t＝1，

∴当△PQE与△ACD重叠部分图形是四边形时，0＜t≤1；

当点E落在边AB上时，如图1所示，

由（2）得：t，

AE＝PQ＝5﹣＜AD，

∴点P在到达点C前，点E始终在CD的左边，

∵AC＝5，

∴t＜5，

∴≤t＜5，

综上：当△PQE与△ACD重叠部分图形是四边形时，t的取值范围为0＜t≤1或≤t＜5．