Question

如图，抛物线y=

1

2

x2-x+c经过点A（0，-

1

2

），直线y=kx-

1

2

交抛物线于点P（点P不与点A重合）．
（1）①直接写出c的值；
②求证：点P的横坐标为2k+2；
（2）过点P作直线y=2kx+b交抛物线于点B，交y轴于点C．已知PB=2BC．
①求点P的坐标；（友情提示：如需要，可以运用以下定理：x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两实数根，则有x1+x2=-

b

a

，x1•x2=

c

a

)
②求tan∠APB的值．

Answer 1

分析：（1）①将A（0，-

1

2

），带入函数解析式求出c的值即可，
②设P（a，

1

2

a2-a-

1

2

），分别将横坐标a带入一次函数与二次函数求出即可；
（2）①由P（a，

1

2

a2-a-

1

2

）依题意：ka-

1

2

=

1

2

a2-a-

1

2

，用a表示出k，得出PC=3BC，即点B的横坐标是

a

3

，
进而得出B点坐标，再带入函数解析式得出k=

1

3

a-

1

2

，即可得出a的值，得出P点坐标即可；
②作PE⊥y轴于点E，则PE=CE=3，即可得出PC的长，再作AD⊥PC于点D，则AD=CD=

3

2 2

=

3 2

4

，得出PD的长，在Rt△APD中，即可得出tan∠APB的值．

解答：（1）解：①∵抛物线y=

1

2

x2-x+c经过点A（0，-

1

2

），
∴c=-

1

2

，

②证明：设P（a，

1

2

a2-a-

1

2

），
则ka-

1

2

=

1

2

a2-a-

1

2

解得a=0（舍去），或a=2k+2，
即点P的横坐标是2k+2；

（2）解：①∵P（a，

1

2

a2-a-

1

2

）
依题意：ka-

1

2

=

1

2

a2-a-

1

2

，
∴k=

1

2

a-1，
∵PB=2BC，
∴PC=3BC，即点B的横坐标是

a

3

，
∴点B(

1

3

a，

1

18

a2-

1

3

a-

1

2

)，
依题意

2ka+b= 1 2 a2-a- 1 2 2k• 1 3 a+b= 1 18 a2- 1 3 a- 1 2

∴k=

4 9 a2- 2 3 a

4 3 a

=

1

3

a-

1

2

，
∴

1

3

a-

1

2

=

1

2

a-1，
解得a=3，
即点P（3，1），
另解：由

1

2

x2-x-

1

2

=2kx+b，可得x²-（4k+2）x-2b-1=0，
根据根与系数的关系x_B+（2k+2）=4k+2，
∴x_B=2k
∵PB=2BC，∴PC=3BC，∴2k+2=6k，
解得k=

1

2

，可知a=3，即点P（3，1），

②由上题可知：直线PB的解析式y=x-2，
∴点C（0，-2），
作PE⊥y轴于点E，则PE=CE=3，
∴∠PCE=45°，PC=3

2

，
作AD⊥PC于点D，则AD=CD=

3

2 2

=

3 2

4

，
∴PD=PC-CD=3

2

-

3 2

4

=

9 2

4

，
在Rt△APD中，tan∠APB=

3 4 2

9 4 2

=

1

3

．

点评：此题主要考查了二次函数综合应用以及锐角三角函数关系和等腰直角三角形的性质等知识，根据等腰直角三角形的性质得出CD的长是解题关键．