Question

如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AC平分∠BAD；AD⊥CD，垂足为D．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的直径为5，CD=2．求AC的长．

Answer 1

分析：（1）连结OC，根据角平分线定义得∠DAC=∠OAC，而∠OAC=∠OCA，则∠DAC=∠OCA，所以可判断AD∥OC，由于AD⊥DC，则OC⊥DC，然后根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）根据圆周角定理由AB是直径，∠ACB=90°，易证得△ADC∽△ACB，利用相似比得AC²=AD•AB=5AD，然后在Rt△ADC中利用勾股定理可计算出AD，于是
利用AC²=5AD可计算出AC．

解答：（1）证明：连结OC，如图，
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠OAC，
∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠DAC=∠OCA，
∴AD∥OC，
∵AD⊥DC，
∴OC⊥DC，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：连接BC，如图，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵AD⊥DC，
∴∠ADC=90°，
∴∠ACB=∠ADC，
∵∠OAC=∠DAC，
∴△ADC∽△ACB，
∴

AD

AC

=

AC

AB

，即AC²=AD•AB=5AD，
在Rt△ADC中，∵AC²=AD²+DC²，
∴AD²+4=5AD，即AD²-5AD+4=0，解得AD=4或AD=1，
当AD=4时，AC²=5×4=20，AC=2

5

；
当AD=1时，AC²=5×1=5，AC=

5

，
即AD的长为

5

或2

5

．

点评：本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理和三角形相似的判定与性质．