Question

【题目】如图，等边三角形中，是线段上一点，是延长线上一点.连接，.点是线段的中点，，与延长线交于点.

（1）若，求；

（2）若，求证：.

Answer 1

【答案】（1）45°；（2）见解析

【解析】

（1）由等边三角形的性质可知∠ABC=∠ACB=60°，由平行线的性质可知∠NBC=60°，进一步求出∠ABN=120°，再由三角形内角和定理即可求出∠N的度数；
（2）先证△NBG≌△AEG，得到AG=NG，AE=BN，再证△ABN≌△ACF，即可推出AF=2AG．

（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵AC∥BN，
∴∠NBC=∠ACB=60°，
∴∠ABN=∠ABC+∠NBC=120°，
∴在△ABN中，
∠N=180°-∠ABN-∠BAN=180°-120°-15°=45°；

（2）∵AC∥BN，
∴∠N=∠GAE，∠NBG=∠AEG，
又∵点G是线段BE的中点，
∴BG=EG，
∴△NBG≌△AEG（AAS），
∴AG=NG，AE=BN，
∵AE=CF，
∴BN=CF，
∵∠ACB=60°，
∴∠ACF=180°-∠ACB=120°，
∴∠ABN=∠ACF，
又∵AB=AC，
∴△ABN≌△ACF（SAS），
∴AF=AN，
∵AG=NG=AN，
∴AF=2AG．