Question

16．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=∠BCD．
（1）求证：AB∥CD；
（2）连接AC，作∠DAC的平分线交CD于点E，过点C作CF⊥AE交AE的延长线于点F，交AD的延长线于点H．请画出完整的图形，并证明∠BAC+∠ADC=2∠H．

Answer 1

分析 （1））由AD∥BC，可知∠B+∠BAD=180°，然后再根据∠BAD=∠BCD，证明得∠B+∠BCD=180°，从而可证明AB∥CD；
（2）首先证明∠BAC+∠ADC=180°-∠DAC，然后再证明△HAF≌△CAF，从而可证明：2∠H=180°-∠HAC．

解答 解：（1）∵AD∥BC，
∴∠B+∠BAD=180°．
∵∠BAD=∠BCD，
∴∠B+∠BCD=180°．
∴AB∥CD；
（2）图形如下图所示：

∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠ACD．
∴∠BAC+∠ADC=∠ACD+∠ADC=180°-∠DAC．
∵CF⊥AE，
∴∠AFC=∠AFH=90°．
∵AF平分∠DAC，
∴∠HAF=∠CAF．
在△HAF和△CAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠HAF=∠CAF}\\{AF=AF}\\{∠AFC=∠AFH}\end{array}\right.$，
∴△HAF≌△CAF．
∴∠H=∠HCA．
∴2∠H=∠H+∠HCA=180°-∠HAC．
∴2∠H=∠BAC+∠ADC．

点评 本题主要考查的是平行线的性质，全等三角形的性质和判定、三角形的内角和定理的应用，证得△HAF≌△CAF，从而得到2∠H=∠H+∠HCA=180°-∠HAC是解题的关键．