Question

淮安华宇公司获得授权生产某种奥运纪念品，经市场调查分析，该纪念品的销售量y₁（万件）与纪念品的价格x（元/件）之间的函数图象如图，该公司纪念品的生产数量y₂（万件）与纪念品的价格x（元/件）近似满足函数关系式y₂=-

3

2

x+85，若每件纪念品的价格不小于20元，且不大于40元．
请解答下列问题：
（1）求y₁与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）若每件纪念品的成本为15元，则价格应定为多少元时，能获得最大利润？并求出此时的最大利润．

Answer 1

考点：二次函数的应用

专题：

分析：（1）此函数为分段函数，所以要按照自变量的取值范围来不同对待，可根据图中的信息运用待定系数法求出函数的关系式；
（2）根据（1）中的函数关系式以及自变量的取值范围的不同分别根据利润=每一件的销售利润×销售件数列出函数解析式，利用性质探讨答案即可．

解答：解：（1）当20≤x≤36时，
设y₁与x的函数解析式为：y=kx+b，将点A（20，60）、B（36，28）代入y=kx+b得：

60=20k+b 28=36k+b

．
解得：

k=-2 b=100

，
∴y₁与x的函数关系式为：y₁=-2x+100；
当36≤x≤40时，
y₁=28．
（2）设销售总利润为W，
当20≤x≤36时，
W=（-2x+100）（x-15）=-2x²+130x-1500=-2（x-

65

2

）²+612.5；
当x=32.5时，y最大值为612.5；
当36≤x≤40时，
W=（-

3

2

x+85）（x-15）=-

3

2

x²+

215

2

x-1245，
a＜0，
当36≤x≤40，y随着x的增大而减小，所以当x=36时，y最大为651．
因此价格应定为36元时，能获得最大利润，此时的最大利润是651万元．

点评：此题考查二次函数的实际运用，借助函数图象表达题目中的信息，读懂图象是关键．本题要注意分段函数的性质和应用．