Question

如图，抛物线y=a（x-4）²+4（a≠0）经过原点O（0，0），点P是抛物线上的一个动点，OP交其对称轴l于点M，且点M、N关于顶点Q对称，连结PN、ON．
（1）求a的值；
（2）当点P在对称轴l右侧的抛物线上运动时，试解答如下问题：
①是否存在点P，使得ON⊥OP？若存在，试求出点P的坐标；否则请说明理由；
②试说明：△OPN的内心必在对称轴l上．

Answer 1

解：（1）把点O（0，0）代入y=a（x-4）²+4，得：0=a（0-4）²+4，解得：．

（2）由（1）得：，
∴抛物线的解析式是，即．
∵点P是抛物线上的点，
∴设点
则直线OP的解析式为：．
∴M（4，-x₀+8），
由可得顶点Q（4，4），又点M、N关于顶点Q对称
∴N（4，x₀）
∴AN=OD=4，，BP=x₀，OA=x₀
若ON⊥OP，则∠NOP=90°，显然点P在第四象限，
如图1所示，作NA⊥y轴于点A，PB⊥y轴于点B．
∴∠OPB+∠POB=90°，∠OPB=∠AON（同角的余角相等）．
∴△ANO∽△BOP．
∴，即，即，
解得：，
又x₀＞4
∴
∴点
故当点P在对称轴l右侧的抛物线上运动时，存在点P的坐标，使得ON⊥OP．

②如备用图，作PH⊥l于点H．
由点、N（4，x₀），可得：PH=x₀-4，，
在Rt△PHN中，，
在Rt△ODN中，，
∴tan∠PNH=tan∠OND
∴∠PNH=∠OND，即直线l平分∠ONP，
∴△OPN的内心必在对称轴l上．
分析：（1）把原点的坐标代入抛物线解析式，列出关于a的方程0=a（0-4）²+4，通过解方程0=a（0-4）²+4来求a的值；
（2）①根据题意，可点，则易求得AN=OD=4，，BP=x₀，OA=x₀．
如图1所示，作NA⊥y轴于点A，PB⊥y轴于点B，构建相似三角形：△ANO∽△BOP．由该相似三角形的对应边成比例求得，即点P的坐标；
②欲证明△OPN的内心必在对称轴l上，只需证明直线l平分∠ONP即可．
点评：本题综合考查了待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质以及三角形内心的定义．在解答（1）①时，也可以由△ODM∽△PBO求得DM=x₀-8，即M（4，-x₀+8）．