Question

如图，抛物线交x轴于点A（-2，0），点B（4，0），交y轴于点C（0，4）．
（1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）若直线y=x交抛物线于M，N两点，交抛物线的对称轴于点E，连接BC，EB，EC．试判断△EBC的形状，并加以证明；
（3）设P为直线MN上的动点，过P作PF∥ED交直线MN上方的抛物线于点F．问：在直线MN上是否存在点P，使得以P，E，D，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P及相应的点F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设抛物线的解析式是：y=a（x+2）（x-4），将（0，4）代入，求出a=-

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2

，即可得到抛物线的解析式，把解析式化成顶点式即可求出顶点坐标；
（2）△EBC应为钝角三角形．根据直线MN⊥BC于直线点Q，求出tan∠EBQ=

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2

，得出∠EBQ＜45°即可；
（3）存在．设点P的坐标为点（x₀，y₀）（x₀=y₀），只要PF∥ED，PF=ED，根据点F在抛物线上，求出|Y_F-Y₀|=DE=

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2

，求出x₀=-1，即可得到点P的坐标和点F的坐标．

解答：解：（1）设抛物线的解析式是：y=a（x+2）（x-4），
将（0，4）代入，得a=-

1

2

，
∴y=-

1

2

x²+x+4，
∴y=-

1

2

 (x2-2x-8)=-

1

2

 (x-1)2+

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2

，顶点D为（1， 

9

2

）；
答：抛物线的解析式是y=-

1

2

x²+x+4，顶点D的坐标是（1，

9

2

）．

（2）答：△EBC应为钝角三角形．
证明：∵直线MN⊥BC于直线点Q，
在直角三角形EBQ中，tan∠EBQ=

1

2

，
∴∠EBQ＜45°，
可得∠BEC为钝角，
∴△EBC应为钝角三角形．
∵△OEC≌△OEB，
∴EB=EC，
∴△EBC也是等腰三角形．

（3）解：存在．
设点P的坐标为点（x₀，y₀）（x₀=y₀），
∵PF∥ED，
∴只需使得PF=ED，
∵点F在抛物线上，
∴yF=-

1

2

x

2 0

+x0+4，|yF-y0| =-

1

2

x

2 0

+4=|ED| =

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2

，
可解得x₀=±1，取x₀=-1，
则存在点P的坐标为（-1，-1），点F的坐标为（-1， 

5

2

），符合题目的条件，
答：存在，点P的坐标为（-1，-1），点F的坐标为（-1， 

5

2

）．

点评：本题主要考查对用待定系数法求二次函数的解析式，锐角三角函数的定义，解一元二次方程等知识点的理解和掌握，综合运用性质进行计算是解此题的关键，题目比较典型，难度适中．