题目内容
（1）如图1，在△ABC中，D、E是BC边上的两点，请你从下面三项中选出两个作为条件，另一个作为结论，写出真命题，并加以证明．①AB=AC；②AD=AE；③BD=CE．
（2）如图2，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连接AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．
①求证：DE为⊙O的切线；
②若⊙O的半径为5，∠BAC=60°，求DE的长．
【答案】分析：（1）由已知设①AB=AC，②AD=AE，则得∠B=∠C，∠ADE=∠AED，所以得：∠ADB=∠AEC，即得△ABD≌△ACE，从而证得BD=CE；
（2）①（1）连接OD，根据OA=OB，CD=BD，得出OD∥AC，∠0DE=∠CED，再根据DE⊥AC，即可证出OD⊥DE，从而得出答案；
②结合①中的结论，可以证明△BOD是等边三角形，即可求得CD和BD的长，再根据锐角三角函数即可计算DE的长．
解答：（1）已知：AB=AC，AD=AE，
求证：BD=CE．
证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
同理∠ADE=∠AED
，
∴180°-∠ADE=180°-∠AED，即∠ADB=∠AEC，
在△ABD和△ACE中，
∵
，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE；
（2）①证明：如图2，连接OD．
∵OA=OB，CD=BD，
∴OD∥AC．
∴∠0DE=∠CED．
又∵DE⊥AC，
∴∠CED=90°．
∴∠ODE=90°，
即OD⊥DE．
∴DE是⊙O的切线；
②解：∵OD∥AC，∠BAC=60°，
∴∠BOD=∠BAC=60°，∠C=∠0DB．
又∵OB=OD，
∴△BOD是等边三角形．
∴∠C=∠ODB=60°，CD=BD=5．
∵DE⊥AC，
∴DE=CD•sin∠C=5×sin60°=
．
点评：（1）此题考查的知识点是全等三角形的判定与性质，关键是由已知证△ABD≌△ACE；
（2）本题考查了切线的判定与性质，用到的知识点是圆周角定理的推论、线段垂直平分线的性质以及等边三角形的判定，是一道常考题型．
（2）①（1）连接OD，根据OA=OB，CD=BD，得出OD∥AC，∠0DE=∠CED，再根据DE⊥AC，即可证出OD⊥DE，从而得出答案；
②结合①中的结论，可以证明△BOD是等边三角形，即可求得CD和BD的长，再根据锐角三角函数即可计算DE的长．
解答：（1）已知：AB=AC，AD=AE，
求证：BD=CE．
证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
同理∠ADE=∠AED
，∴180°-∠ADE=180°-∠AED，即∠ADB=∠AEC，
在△ABD和△ACE中，
∵
，∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE；
（2）①证明：如图2，连接OD．
∵OA=OB，CD=BD，
∴OD∥AC．
∴∠0DE=∠CED．
又∵DE⊥AC，
∴∠CED=90°．
∴∠ODE=90°，
即OD⊥DE．
∴DE是⊙O的切线；
②解：∵OD∥AC，∠BAC=60°，
∴∠BOD=∠BAC=60°，∠C=∠0DB．
又∵OB=OD，
∴△BOD是等边三角形．
∴∠C=∠ODB=60°，CD=BD=5．
∵DE⊥AC，
∴DE=CD•sin∠C=5×sin60°=
．点评：（1）此题考查的知识点是全等三角形的判定与性质，关键是由已知证△ABD≌△ACE；
（2）本题考查了切线的判定与性质，用到的知识点是圆周角定理的推论、线段垂直平分线的性质以及等边三角形的判定，是一道常考题型．
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