Question

19．如图（1），是边长分别为4$\sqrt{3}$cm和4cm的两个等边三角形纸片ABC和C′D′E′叠放在一起（点C与C′重合）
（1）操作：固定△ABC，将△C′D′E′绕点C顺时针旋转30°得到△CDE，连接AD、BE、CE的延长线交AB于点F，如图（2）．
探究：在图（2）中，线段BE与AD之间有怎样的大小关系？试证明你的结论；
（2）操作：将图（2）中的△CDE，在射线CF上沿着CF方向平移，平移后的△CDE设为△PQR，如图（3）．
探究：设CQ的长度为xcm（0＜x＜6），△PQR与△ABC重叠部分的面积为ycm²，请直接写出y与x之间的函数关系式，不需要写出求解过程．

Answer 1

分析 （1）BE=AD．证明△BCD≌△ACD，即可得出结论；
（2）画出图形，分三种情况：0＜x≤2，2＜x≤4，4＜x＜6分类讨论即可．

解答 解：（1）BE=AD．
证明：如答图1，∵△ABC与△DCE都是等边三角形，
∴∠ACB=∠DCE=60°，CA=CB，CE=CD，
∴∠BCE=∠ACD，
在△BCD和△ACD中
$\left\{\begin{array}{l}{CA=CB}\\{∠BCE=∠ACD}\\{CE=CD}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△ACD，
∴BE=AD．
（2）∵∠BCF=30°，∠B=60°
∴∠BFC=90°，
∵△ABC的边长是4$\sqrt{3}$cm，
∴CF=6cm，
∵△PQR的边长是4cm，
∴S_△PQR=4$\sqrt{3}$，
设CQ的长度为xcm（0＜x＜6），
如答图2，当0＜x≤2时，QE=CQ=x，
∴ER=4-x，
∵PR⊥AC，∠R=60°，
∴DR=$\frac{1}{2}$（4-x），DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（4-x），
∴S_△DER=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$（4-x）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$（4-x）=$\frac{\sqrt{3}}{8}$（4-x）²，
∴S=S_△PQR-S_△DER=4$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{8}$（4-x）²=-$\frac{\sqrt{3}}{8}{x}^{2}+\sqrt{3}x+2\sqrt{3}$；
如答图3，当2＜x≤4时，QE=CQ=x，
∴DR=$\frac{1}{2}$（4-x），DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（4-x），PF=x-2，PG=$\sqrt{3}$（x-2），
∴S_△DER=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$（4-x）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$（4-x）=$\frac{\sqrt{3}}{8}$（4-x）²，
S_△PFG=$\frac{1}{2}$×（x-2）×$\sqrt{3}$（x-2）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（x-2）²，
∴S=S_△PQR-S_△DER-S_△PFG=4$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{8}$（4-x）²-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（x-2）²=-$\frac{5\sqrt{3}}{8}{x}^{2}+3\sqrt{3}x$；
如答图4，当4＜x＜6时，QE=CQ=x，
∴FQ=6-x，FM=$\sqrt{3}$（6-x），
∴S_△FQM=$\frac{1}{2}$×（6-x）×$\sqrt{3}$（6-x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（6-x）²，
∴S=S_△PQR-S_△FQM=4$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（6-x）²=$\frac{\sqrt{3}}{2}{x}^{2}-6\sqrt{3}x+18\sqrt{3}$；

综上所述，S=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{\sqrt{3}}{8}{x}^{2}+\sqrt{3}x+2\sqrt{3}（0＜x≤2）}\\{-\frac{5\sqrt{3}}{8}{x}^{2}+3\sqrt{3}x（2＜x≤4）}\\{\frac{\sqrt{3}}{2}{x}^{2}-6\sqrt{3}x+18\sqrt{3}（4＜x＜6）}\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积的表示以及列函数表达式的综合应用，第2小题能够画出图形，分类讨论是解决问题的关键．