题目内容
已知（x+y+z）2≥n（xy+yz+zx），n能取的最大值为______．
（x+y+z）2=x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx≥n（xy+yz+zx），
（x2+y2+z2）≥（n-2）（xy+yz+zx）（1），
因为x2+y2≥2xy，
y2+z2≥2yz，
z2+x2≥2zx，
即2（x2+y2+z2）≥2（xy+yz+zx），
（x2+y2+z2）≥（xy+yz+zx）（2）
由（1）（2）可知，要使（1）恒成立，只需使
（xy+yz+zx）≥（n-2）（xy+yz+zx），
xy+yz+zx=0时，等号恒成立，n可以取全体实数R，
xy+yz+zx＞0时，1≥n-2，n最大取3，
xy+yz+zx＜0时，1≤n-2，n最小取3．
故答案为：3．
（x2+y2+z2）≥（n-2）（xy+yz+zx）（1），
因为x2+y2≥2xy，
y2+z2≥2yz，
z2+x2≥2zx，
即2（x2+y2+z2）≥2（xy+yz+zx），
（x2+y2+z2）≥（xy+yz+zx）（2）
由（1）（2）可知，要使（1）恒成立，只需使
（xy+yz+zx）≥（n-2）（xy+yz+zx），
xy+yz+zx=0时，等号恒成立，n可以取全体实数R，
xy+yz+zx＞0时，1≥n-2，n最大取3，
xy+yz+zx＜0时，1≤n-2，n最小取3．
故答案为：3．
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