Question

【题目】在等边△ABC的顶点A、C处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以每分钟1米的速度由A向B和由C向A爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止运动，经过t分钟后，它们分别爬行到D、E处，请问：

（1）如图1，在爬行过程中，CD和BE始终相等吗，请证明？

（2）如果将原题中的“由A向B和由C向A爬行”，改为“沿着AB和CA的延长线爬行”，EB与CD交于点Q，其他条件不变，蜗牛爬行过程中∠CQE的大小保持不变，请利用图2说明：∠CQE=60°；

（3）如果将原题中“由C向A爬行”改为“沿着BC的延长线爬行，连接DE交AC于F”，其他条件不变，如图3，则爬行过程中，证明：DF=EF

Answer 1

【答案】（1)相等，证明见解析；（2)证明见解析；（3)证明见解析．

【解析】

（1）先证明△ACD≌△CBE，再由全等三角形的性质即可证得CD=BE；

（2）先证明△BCD≌△ABE，得到∠BCD=∠ABE，求出∠DQB=∠BCQ+∠CBQ=∠ABE+∠CBQ=180°-∠ABC，∠CQE=180°-∠DQB，即可解答；

（3）如图3，过点D作DG∥BC交AC于点G，根据等边三角形的三边相等，可以证得AD=DG=CE；进而证明△DGF和△ECF全等，最后根据全等三角形的性质即可证明．

（1）解：CD和BE始终相等，理由如下：

如图1，AB=BC=CA，两只蜗牛速度相同，且同时出发，

∴CE=AD，∠A=∠BCE=60°

在△ACD与△CBE中，

AC=CB，∠A=∠BCE，AD=CE

∴△ACD≌△CBE（SAS），

∴CD=BE，即CD和BE始终相等；

（2）证明：根据题意得：CE=AD，

∵AB=AC，

∴AE=BD，

∴△ABC是等边三角形，

∴AB=BC，∠BAC=∠ACB=60°，

∵∠EAB+∠ABC=180°，∠DBC+∠ABC=180°，

∴∠EAB=∠DBC，

在△BCD和△ABE中，

BC=AB，∠DBC=∠EAB，BD=AE

∴△BCD≌△ABE（SAS），

∴∠BCD=∠ABE

∴∠DQB=∠BCQ+∠CBQ=∠ABE+∠CBQ=180°-∠ABC=180°-60°=120°，

∴∠CQE=180°-∠DQB=60°，即CQE=60°；

（3）解：爬行过程中，DF始终等于EF是正确的，理由如下：

如图，过点D作DG∥BC交AC于点G，

∴∠ADG=∠B=∠AGD=60°，∠GDF=∠E，

∴△ADG为等边三角形，

∴AD=DG=CE，

在△DGF和△ECF中，

∠GFD=∠CFE，∠GDF=∠E，DG=EC

∴△DGF≌△EDF（AAS），

∴DF=EF.