Question

【题目】问题情境：如图1，直角三角板ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，将一个用足够长的的细铁丝制作的直角的顶点D放在直角三角板ABC的斜边AB上，再将该直角绕点D旋转，并使其两边分别与三角板的AC边、BC边交于P、Q两点．

问题探究：（1）在旋转过程中，

①如图2，当AD＝BD时，线段DP、DQ有何数量关系？并说明理由．

②如图3，当AD＝2BD时，线段DP、DQ有何数量关系？并说明理由．

③根据你对①、②的探究结果，试写出当AD＝nBD时，DP、DQ满足的数量关系为_______________（直接写出结论，不必证明）

（2）当AD＝BD时，若AB＝20，连接PQ，设△DPQ的面积为S，在旋转过程中，S是否存在最小值或最大值？若存在，求出最小值或最大值；若不存在，请说明理由．

图1 图2 图3

Answer 1

【答案】（1）① DP=DQ，理由见解析； ②DP=2DQ，理由见解析； ③DP=nDQ；（2）S有最小值为25； S有最大值为10，理由见解析.

【解析】

（1）①首先利用等腰直角三角形的性质得出△ADP≌△CDQ（ASA），即可得出答案；

②首先得出△DPM∽△DQN，则，求出△AMD∽△BND，进而得出答案.

③根据已知得出Rt△DNP∽Rt△DMQ，则，则AD=nBD，求出即可；

（2）当DP⊥AC时，x最小，最小值是5.此时，S有最小值；当点P与点A重合时，x最大，最大值为10，分别求出即可．

解：（1）①DP＝DQ

理由：连接CD，

∵AD=BD，△ABC是等腰直角三角形，

∴AD=CD，∠A＝∠DCQ，∠ADC＝90°，∴∠ADP＋∠PDC＝∠CDQ＋∠PDC＝90°，

∴∠ADP＝∠CDQ，∴△ADP≌△CDQ，∴DP=DQ.

② DP=" 2DQ" ．

理由：如图，过点D作DM⊥AC、DN⊥BC，垂足分别为M、N，

∴∠DMP＝∠DNQ＝90°，∠MDP＝∠NDQ，

∴△DPM∽△DQN，∴DM:DN="DP:DQ" ．

∵∠AMD＝∠DNB＝90°，∠A＝∠B，

∴△AMD∽△BND，∴AD:BD=DM:DN．

∴DP:DQ=AD:BD=2BD:BD=2:1，

∴DP=2DQ．

③DP=NQ．

（2）存在，设DQ=x，由（1）①知DP=x，

∴S=

，

当DP⊥AC时，x最小，最小值是，此时，S有最小值，

当点P与点A重合时，x最大，最大值是10，此时，S有最大值，