Question

【题目】如图，抛物线经过点，，直线交轴于点，且与抛物线交于、两点．为抛物线上一动点（不与点，重合）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点在直线上方时，过点作轴交于点，轴交于点，求的最大值；

（3）设为直线上的点，以，，，为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，请直接写出点的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）能构成，点F的坐标是（2，4）或或或．

【解析】

（1）根据待定系数法解答即可；

（2）求出OA和OE的长后易证，由相似三角形的性质可得，于是可转化为，只要求出PN的最大值即可，可设点P的横坐标为m，则PN的长可用含m的代数式表示，再利用二次函数的性质即可求出PN的最大值，进一步即可求出结果；

（3）分情况讨论：当CE为边时，则CE=PF，CE∥PF，易得CE=2，再分点在直线上方和点在直线下方，设点P的横坐标为m，由PF=2可得关于m的方程，解方程即可求出m，进而可求得点F的坐标；当CE为对角线时，如图，则CP=EF，CP∥EF，设点P的横坐标为m，表示出点P、F坐标后，由平行四边形的性质可得，从而可得关于m的方程，解方程即可求出m，进而可求得点F的坐标．

解（1）抛物线经过点，，

，解得：，

∴抛物线的解析式为；

（2）在直线中，当时，，，

当时，，，∴，

轴，轴，

，，

，

，

，，

，

设，

轴，，

点在直线上方，

∴，

∴当时，有最大值，最大值为，此时的最大值=；

（3）由题意得：当CE为边时，若以，，，为顶点的四边形能构成平行四边形，则CE=PF，CE∥PF，

当点在直线上方时，设，则，

∵，

∴，

∴，解得：m=0（舍去）或m=2，

此时点F的坐标是（2，4）；

当点在直线下方时，，

∴，解得：或，

此时点F的坐标是或；

当CE为对角线时，如图，若以，，，为顶点的四边形能构成平行四边形，则CP=EF，CP∥EF，

此时可设，则由可得，

由得：，

解得：m=0（舍去）或m=2，

此时点F的坐标是；

综上所述，以，，，为顶点的四边形能构成平行四边形，且点F的坐标是（2，4）或或或．