Question

【题目】如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3，与y轴负半轴交于点C．以下五个结论：①2a+b＝0；②a+b+c＞0；③4a+b+c＞0；④只有当a＝时，△ABD是等腰直角三角形；⑤使△ACB为等腰三角形的a的值可以有两个．那么，其中正确的结论是_____．

Answer 1

【答案】①④⑤

【解析】

先根据图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为-1，3确定出AB的长及对称轴，再由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

解：①∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3，

∴AB＝4，

∴对称轴x＝＝=1，

即2a+b＝0；

故①正确；

②由抛物线的开口方向向上可推出a＞0，而＞0

∴b＜0，

∵对称轴x＝1，

∴当x＝1时，y＜0，

∴a+b+c＜0；

故②错误；

③∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3，

∴a﹣b+c＝0，9a+3b+c＝0，

∴10a+2b+2c＝0，

∴5a+b+c＝0，

∴a+4a+b+c＝0，

∵a＞0，

∴4a+b+c＜0，

故③错误；

④要使△ABD为等腰直角三角形，必须保证D到x轴的距离等于AB长的一半；

D到x轴的距离就是当x＝1时y的值的绝对值．

当x＝1时，y＝a+b+c，

即|a+b+c|＝2，

∵当x＝1时y＜0，

∴a+b+c＝﹣2，

又∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3，

∴当x＝﹣1时y＝0即a﹣b+c＝0；

x＝3时y＝0．

∴9a+3b+c＝0，

解这三个方程可得：b＝﹣1，a＝，c＝﹣；

⑤要使△ACB为等腰三角形，则必须保证AB＝BC＝4或AB＝AC＝4或AC＝BC，

当AB＝BC＝4时，

∵AO＝1，△BOC为直角三角形，

又∵OC的长即为|c|，

∴c2＝16﹣9＝7，

∵由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，

∴c＝﹣，

与2a+b＝0、a﹣b+c＝0联立组成解方程组，解得a＝；

同理当AB＝AC＝4时，

∵AO＝1，△AOC为直角三角形，

又∵OC的长即为|c|，

∴c2＝16﹣1＝15，

∵由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，

∴c＝﹣

与2a+b＝0、a﹣b+c＝0联立组成解方程组，解得a＝；

同理当AC＝BC时

在△AOC中，AC2＝1+c2，

在△BOC中BC2＝c2+9，

∵AC＝BC，

∴1+c2＝c2+9，此方程无解．

经解方程组可知只有两个a值满足条件．

故⑤正确．

故答案为：①④⑤．