Question

18．如图，抛物线y=-x²+bx+c 经过A（-1，0），C（0，3）两点，点B是抛物线与x轴的另一个交点，点D与点C关于抛物线对称轴对称，作直线AD．点P在抛物线上，过点P作PE⊥x轴，垂足为点E，交直线AD于点Q，过点P作PG⊥AD，垂足为点G，连接AP．设点P的横坐标为m，PQ的长度为d．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点D的坐标及直线AD的解析式；
（3）当点P在直线AD上方时，求d关于m的函数关系式，并求出d的最大值；
（4）当点P在直线AD上方时，若PQ将△APG分成面积相等的两部分，直接写出m的值．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法可求抛物线的解析式；
（2）将y=-x²+2x+3配方得抛物线的对称轴，根据轴对称的性质可得点D的坐标，再根据待定系数法可求直线AD的解析式；
（3）根据两点间的距离公式可得d=-m²+2m+3-m-1=-m²+m+2=-（m-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，依此可求d的最大值；
（4）可设直线PG的解析式为y=-x+P，根据中点坐标公式可得G的坐标，再根据待定系数法可求m的值．

解答 解：（1）∵抛物线y=-x²+bx+c 经过A（-1，0），C（0，3）两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-（-1）^{2}-b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$．
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+3．
（2）∵将y=-x²+2x+3配方，得y=-（x-1）²+4，
∴抛物线的对称轴是直线x=1．
∴点D的坐标为（2，3）．
设直线AD的解析式为y=kx+n，
由题意，得$\left\{\begin{array}{l}{2k+n=3}\\{-k+n=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{n=1}\end{array}\right.$．
∴直线AD的解析式为y=x+1．
（3）∵点P的横坐标为m，
∴点P，Q的纵坐标分别为-m²+2m+3，m+1，
∴d=-m²+2m+3-m-1=-m²+m+2=-（m-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
∴d关于m函数关系式是d=-m²+m+2，d的最大值为$\frac{9}{4}$．
（4）设直线PG的解析式为y=-x+P，
∵PQ将△APG分成面积相等的两部分，
∴G的坐标为（2m+1，2m+2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-（2m+1）+p=2m+2}\\{-m+p=-{m}^{2}+2m+3}\end{array}\right.$，
解得m₁=0，m₂=-1（不合题意舍去）．
故m的值为0．

点评 考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：待定系数法可求抛物线的解析式，待定系数法求直线的解析式，二次函数的性质，轴对称的性质，两点间的距离公式，中点坐标公式，以及方程思想的应用，综合性较强，有一定的难度．