Question

如图，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，M是△ABC内任意一点，连结MC并延长到E，使得CE=CM，以MA、MB为邻边做?MADB，对角线交点为F，连接DE．
（1）求证：①DE⊥AB；②DE=AB；
（2）若△ABC为等边三角形，猜想（1）中的两个结论是否成立？若成立，直接写出结论；若不成立，请直接写出你的猜想结果．

Answer 1

证明：（1）连接CF，
∵四边形ADBM是平行四边形，
∴AF=BF，DF=MF，
又∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴CF⊥AB，CF=AB，
又∵MC=CE，
∴CF∥DE，CF=DE，
∴DE⊥AB，DE=AB；

（2）①成立，②DE=AB．
∵四边形ADBM是平行四边形，
∴AF=BF，DF=MF，
又∵△ABC为等边三角形，
∴AC=BC，∠ACB=∠ABC=60°，
∴CF⊥AB，CF=AB，
又∵MC=CE，
∴CF∥DE，CF=DE，
∴DE⊥AB，DE=AB．
分析：（1）首先连接CF，由四边形ADBM是平行四边形，可得AF=BF，DF=MF，又由等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，可得CF⊥AB，CF=AB，然后由三角形中位线的性质，证得CF∥DE，CF=DE，继而证得结论；
（2）首先连接CF，由四边形ADBM是平行四边形，可得AF=BF，DF=MF，又由等边三角形的性质，可得CF⊥AB，CF=AB，然后由三角形中位线的性质，证得CF∥DE，CF=DE，继而证得结论．
点评：此题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质以及三角形中位线的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．