题目内容
如图，等腰直角三角形AEF的顶点E在等腰直角三角形ABC的边BC上．AB的延长线交EF于D点，其中∠AEF=∠ABC=90°．（1）求证：
| AD |
| AE |
| ||
| AC |
（2）若E为BC的中点，求
| DB |
| DA |
分析：（1）由△AEF、△ABC是等腰直角三角形，易证得△FAD∽△CAE，然后由相似三角形的对应边成比例，可得
=
，又由等腰直角三角形的性质，可得AF=
AE，即可证得
=
；
（2）首先设BE=a，由射影定理，可求得DB的长，继而可求得DA的长，即可求得答案．
| AD |
| AE |
| AF |
| AC |
| 2 |
| AD |
| AE |
| ||
| AC |
（2）首先设BE=a，由射影定理，可求得DB的长，继而可求得DA的长，即可求得答案．
解答：（1）证明：∵△AEF、△ABC是等腰直角三角形，
∴∠EAF=∠BAC=45°，∠F=∠C=45°，
∴∠FAD=∠CAE，
∴△FAD∽△CAE，
∴
=
，
∵∠AEF=90°，AE=EF，
∴AF=
AE，
∴
=
；
（2）解：设BE=a，
∵E为BC的中点，
∴EC=BE=a，AB=BC=2a，
∵∠AEF=∠ABC=90°，
∴BE2=AB•DB，
∴DB=
，
∵DA=DB+AB，
∴DA=
a，
∴
=
．
∴∠EAF=∠BAC=45°，∠F=∠C=45°，
∴∠FAD=∠CAE，
∴△FAD∽△CAE，
∴
| AD |
| AE |
| AF |
| AC |
∵∠AEF=90°，AE=EF，
∴AF=
| 2 |
∴
| AD |
| AE |
| ||
| AC |
（2）解：设BE=a，
∵E为BC的中点，
∴EC=BE=a，AB=BC=2a，
∵∠AEF=∠ABC=90°，
∴BE2=AB•DB，
∴DB=
| a |
| 2 |
∵DA=DB+AB，
∴DA=
| 5 |
| 2 |
∴
| DB |
| DA |
| 1 |
| 5 |
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及射影定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
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