Question

直线y=

3

4

x-6交x轴于点A，交y轴于点B，设点E（t，0）是x轴上一个动点，连接BE，将△BOE绕着点B顺时针旋转使点O落在线段AB上的点C处，得△BCF（点E落在点F处）．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）当点E在A点的右侧时，求点F点的坐标（用含t的代数式）；
（3）问在点E的运动过程中，是否存在着四边形BCFE或OBFE为梯形吗？若存在，请
求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）直线y=

3

4

x-6中，令y=0，x=0，可得A、B两点坐标，过C点作CD⊥x轴，垂足为D，由△ACD∽△ABO，可求AD，CD，确定C点坐标；
（2）过D作X轴的垂线，交AB于Q，过F作Y轴的垂线FG，垂足是G，两线交于N，得到则∠BQN=∠QFN=∠OBA，根据sin∠OBA=

4

5

，cos∠OBA=

3

5

，即可求出F的坐标；
（3）当四边形OBFE为梯形时，且BF∥OE时，根据则△ABO∽△BFC，得出

OA

AB

=

BC

BF

，代入即可求出t=±8；同法可求：当四边形OBFE为梯形时，且BO∥EF时，t=12；当四边形BCFE为梯形时，且BE∥CF时，t=-4.5；当四边形BCFE为梯形时，且BC∥EF时，t=-12．

解答：解：（1）y=

3

4

x-6中，令y=0，x=0，可得A、B两点坐标，
令y=0，得到0=

3

4

x-6，解得：x=8，∴A（8，0），
令x=0，解得：y=-6，∴B（0，-6），
在△AOB中由勾股定理得：AB=10，
∴AC=10-6=4，
过C点作CD⊥x轴，垂足为D，则△ACD∽△ABO，
∴

AD

AO

=

AC

AB

=

CD

BO

，
∴

AD

8

=

4

10

=

CD

6

，
∴AD=

16

5

，CD=

12

5

，
∴OD=8-

16

5

=

24

5

，
∴C（

24

5

，-

12

5

）；
答：A、B、C三点的坐标分别是（8，0），（0，-6），（

24

5

，-

12

5

）．

（2）过D作x轴的垂线，交AB于C，过F作y轴的垂线FG，垂足是G，两线交于N，
过C作y轴的垂线CQ，垂足为Q，交y轴于点Q，

∵∠BCF=90°，∠CNF=90°，
∴∠BCN+∠NCF=90°，∠NCF+∠CFN=90°，
∴∠BCN=∠CFN，
又∠OBA+∠QCB=90°，∠BCN+∠QCB=90°，
∴∠BCN=∠OBA，
则∠BCN=∠CFN=∠OBA，
又OA=8，OB=6，
∵sin∠OBA=

4

5

，cos∠OBA=

3

5

，
∴sin∠CFB=

4

5

，cos∠CFB=

3

5

，
∵CF=OE=t，
∴GQ=CN=

4

5

t，FN=

3

5

t，
∵C（

24

5

，-

12

5

），
∴F（

24

5

+

3

5

t，-

12

5

-

4

5

t），
答：点F的坐标是F（

24

5

+

3

5

t，-

12

5

-

4

5

t）．

（3）解：当四边形OBFE为梯形时，且BF∥OE时，则△ABO∽△BFC，
∴

OA

AB

=

BC

BF

，
即

8

10

=

6

t2+36

，
解得：t=±

9

2

；

同法可求：当四边形OBFE为梯形时，且BO∥EF时，
t=12；

当四边形BCFE为梯形时，且BE∥CF时，t=-4.5；

当四边形BCFE为梯形时，且BC∥EF时，t=-12，

答：在点E的运动过程中，存在着四边形BCFE或OBFE为梯形，t的值是±

9

2

或12或-12．

点评：此题主要考查了一次函数的图象上点的坐标特征，相似三角形的性质和判定，勾股定理，梯形，旋转的性质等知识点，熟练地应用这些性质进行计算是解决问题的关键．此题是一个拔高的题目，有一定的难度．