Question

如图1，在平面直角坐标系中，直线y=-

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x+6分别交x轴、y轴于C、A两点．将射线AM绕着点A顺时针旋转45°得到射线AN．点D为AM上的动点，点B为AN上的动点，点C在∠MAN的内部．

（1）求线段AC的长；
（2）当AM∥x轴（如图2），且四边形ABCD为等腰梯形时，求D的坐标．

Answer 1

分析：（1）因为直线y=-

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x+6分别交x轴、y轴于C、A两点．所以分别令y=0，x=0，即可求出点C、点A的坐标，即可求出OA、OC的长度，利用勾股定理即可求出AC的长度；
（2）设D（x，6）．需要分类讨论：①当AD∥BC，AB=DC时．根据等腰梯形的性质推知点B在x轴上，并且是直线AN与x轴的交点；由点A的坐标、等腰直角三角形OAB的性质求得OB=OA=6，然后由两点间的距离公式、等腰梯形中的等量关系AB=CD来求点D的横坐标．②当CD∥AB，AD=BC时，易证四边形ADCP是平行四边形，所以PC=AD=2，即D点坐标是（2，6）．

解答：解：（1）∵直线y=-

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x+6分别交x轴、y轴于C、A两点．
∴A（0，6），C（8，0），
则在Rt△AOC中，OA=6，OC=8，
∴根据勾股定理知AC=

OA2+OC2

=

62+82

=10，即线段AC的长是10；

（2）∵AM∥x轴，点D在直线AM上，A（0，6），点C在∠MAN的内部，
∴设D（x，6）（x＞8）．
如图1，当AD∥BC，AB=CD时．
∵AM∥x轴，且四边形ABCD为等腰梯形，点B在直线AN上，
∴点B为直线AN与x轴的交点．
∵∠DAB=45°，∠DAB=∠ABO（两直线平行，内错角相等），
∴∠ABO=45°．
∴OA=OB=6，
∴AB=CD=6

2

，即

(x-8)2+62

=6

2

，
解得，x=14，或x=2（不合题意，舍去），
∴点D的坐标为（14，6）．
如图2，当CD∥AB，AD=BC时，设直线AN与x轴交于点P．
∵AD∥PC，AP∥DC，
∴四边形ADCP是平行四边形，
∴PC=AD=2，
∴D点坐标是（2，6）．
综上所述，点D的坐标为（14，6），或（2，6）．

点评：本题考查了一次函数综合题．解答（2）题时，注意“数形结合”数学思想是应用，当x=2时，四边形ABCD是平行四边形，而非等腰梯形．