Question

【题目】已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，直线l经过点A(不经过点B或点C)，点C关于直线l的对称点为点D，连接BD，CD.

(1)如图1，

①求证：点B，C，D在以点A为圆心，AB为半径的圆上.

②直接写出∠BDC的度数(用含α的式子表示)为______.

(2)如图2，当α＝60°时，过点D作BD的垂线与直线l交于点E，求证：AE＝BD.

(3)如图3，当α＝90°时，记直线l与CD的交点为F，连接BF.将直线l绕点A旋转，当线段BF的长取得最大值时，直接写出tan∠FBC的值.

Answer 1

【答案】(1)①证明见解析；②；(2)证明见解析；(3)tan∠FBC＝.

【解析】

（1）①由线段垂直平分线的性质可得AD＝AC＝AB，即可证点B，C，D在以点A为圆心，AB为半径的圆上；

②由圆周角定理可得∠BAC＝2∠BDC，可求∠BDC的度数；

（2）连接CE，由题意可证△ABC，△DCE是等边三角形，可得AC＝BC，∠DCE＝60°＝∠ACB，CD＝CE，根据“SAS”可证△BCD≌△ACE，可得AE＝BD；

（3）取AC的中点O，连接OB，OF，BF，由三角形的三边关系可得，当点O，点B，点F三点共线时，BF最长，根据等腰三角形的性质和勾股定理可求，OH＝HC，BH＝3HC，即可求tan∠FBC的值.

证明：（1）①如图1，连接DA，

∵点C关于直线l的对称点为点D，

∴AD＝AC，且AB＝AC，

∴AD＝AB＝AC，

∴点B，C，D在以点A为圆心，AB为半径的圆上；

②∵点B，C，D在以点A为圆心，AB为半径的圆上，

∴∠BDC＝；

（2）如图2，连接CE，

∵∠BAC＝60°，AB＝AC，

∴△ABC是等边三角形，

∴BC＝AC，∠ACB＝60°，

∵∠BDC＝，

∴∠BDC＝30°，

∵BD⊥DE，

∴∠CDE＝60°，

∵点C关于直线l的对称点为点D，

∴DE＝CE，且∠CDE＝60°，

∴△CDE是等边三角形，

∴CD＝CE＝DE，∠DCE＝60°＝∠ACB，

∴∠BCD＝∠ACE，且AC＝BC，CD＝CE，

∴△BCD≌△ACE(SAS)，

∴BD＝AE；

（3）如图3，取AC的中点O，连接OB，OF，BF，

∵在△BOF中，BO+OF≥BC，

∴当点O，点B，点F三点共线时，BF最长，

如图，过点O作OH⊥BC，

∵∠BAC＝90°，AB＝AC，

∴BC＝AC，∠ACB＝45°，

∴∠COH＝∠HCO＝45°，

∴OH＝HC，

∴OC＝HC，

∵点O是AC中点，

∴AC＝2HC，

∴BC＝4HC，

∴BH＝BC﹣HC＝3HC，

∴tan∠FBC＝＝.