Question

20．如图，在△OAC中，以点O为圆心、OA长为半径作⊙O，作OB⊥OC交⊙O于点B，连接AB交OC于点D，∠CAD=∠CDA．
（1）判断AC与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若OA=10，OD=2，求线段AC的长．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件“∠CAD=∠CDA”、对顶角∠BDO=∠CDA可以推知∠BDO=∠CAD；然后根据等腰三角形OAB的两个底角相等、直角三角形的两个锐角互余的性质推知∠B+∠BDO=∠OAB+∠CAD=90°，即∠OAC=90°，可得AC是⊙O的切线；
（2）根据“等角对等边”可以推知AC=DC，所以由图形知OC=OD+CD；然后利用（1）中切线的性质可以在Rt△OAC中，根据勾股定理来求AC的长度．

解答 解：（1）AC是⊙O的切线．
证明：∵点A，B在⊙O上，
∴OB=OA，
∴∠OBA=∠OAB，
∵∠CAD=∠CDA=∠BDO，
∴∠CAD+∠OAB=∠BDO+∠OBA，
∵BO⊥OC，
∴∠BDO+∠OBA=90°，
∴∠CAD+∠OAB=90°，
∴∠OAC=90°，即OA⊥AC，
又∵OA是⊙O的半经，
∴AC是⊙O的切线；

（2）设AC的长为x．
∵∠CAD=∠CDA，
∴CD的长为x．
由（1）知OA⊥AC，
∴在Rt△OAC中，OA²+AC²=OC²，
即10²+x²=（2+x）²，
∴x=24，
即线段AC的长为24．

点评 此题考查了切线的性质与判定、勾股定理以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．