Question

12．如图，在?ABCD中，AB=5，AD=8，BE平分∠ABC，交AD于点E，CF平分∠BCD，交AD于点F．
（1）求EF；
（2）你能发现BE与CF有什么关系吗？并证明之．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形的性质可知∠AEB=∠EBC，又因为BE平分∠ABC，所以∠ABE=∠EBC，则∠ABE=∠AEB，则AB=AE=5，同理可证FD=5，即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质和角平分线定义得出∠BMC=90°，即可得出结论．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠AEB=∠EBC，AB∥CD，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
则∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE=5，
同理可证：DF=DC=AB=5，
则EF=AE+FD-AD=5+5-8=2；
（2）BE⊥CF，理由如下：
如图所示：
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，
∴∠CBE=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠BCF=$\frac{1}{2}$∠BCD，
∴∠CBE+∠BCF=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
∴∠BMC=90°，
∴BE⊥CF．

点评 本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定；在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．