Question

14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在边BC上，AD=BD=5，sin∠ADC=$\frac{4}{5}$．
（1）求cos∠ABC的值；
（2）如果边AB的中点为M，联结CM，交AD于点E，求线段AE的长．

Answer 1

分析 （1）根据正弦的概念和AD的值，求出AC和BC，得到AB的长，根据余弦概念求出答案；
（2）作MF∥AD交BC于F，根据平行线分线段成比例定理MF和DE，计算得到答案．

解答 解：（1）∵sin∠ADC=$\frac{AC}{AD}$=$\frac{4}{5}$，AD=5，
∴AC=4，
由勾股定理得CD=3，
则BC=3+5=8，
由勾股定理得AB=4$\sqrt{5}$，
∴cos∠ABC=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
（2）作MF∥AD交BC于F，
∵边AB的中点为M，
∴BF=FD=$\frac{5}{2}$，MF=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{5}{2}$，
$\frac{DE}{MF}$=$\frac{CD}{CF}$=$\frac{6}{11}$，
∴DE=$\frac{15}{11}$，AE=5-$\frac{15}{11}$=$\frac{40}{11}$．

点评 本题考查的是解直角三角形的知识，掌握锐角三角函数的概念和平行线分线段成比例定理是解题的关键，注意辅助线的作法要准确．