Question

已知直线 y=kx+3(k<0)分别交 x轴、y 轴于A、B两点，线段 OA 上有一动点P由原点O向点A运动，速度为每秒1个单位长度，过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，设运动时间为t秒.  
  (1)当 k=-1时，线段OA上另有一动点Q 由点A 向点O运动，它与点 P 以相同速度同时出发，当点P到达点A时两点同时停止运动(如图 1).    
 ①直接写出 t=1秒时 C、Q两点的坐标；  
 ②若以Q、C、A为顶点的三角形与△AOB 相似，求t的值.  
  (2)当时，设以C为顶点的抛物线y=+n与直线AB的另一交点为D(如图 2).   
  ①求CD的长；
  ②设△COD的OC边上的高为 h，当 t为何值时h的值最大？

Answer 1

解：(1)①C(1，2)，Q(2，0).    
 ②由题意得：P（t，0），C（t，-t+3），Q（3-t，0）
分两种情形讨论：
情形一：当△AQC∽△AOB时，
AQC =AOB= 90°，
∴ CQ⊥OA，
∵CP⊥OA，
∴点P与点Q重合，OQ=OP，即3-t= t，
∴t=1.5；
情形二：当△ACQ∽△AOB时，
ACQ=AOB=90°，
∵OA = OB = 3，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴△ACQ是等腰直角三角形，
∵CP⊥OA，
∴AQ= 2CP，即 t = 2(-t +3)，
∴t = 2，
∴满足条件的t的值是1.5秒或2秒；
(2)①由题意得：C(t，-t+ 3)
∴以C为顶点的抛物线解析式是y= ，
由=-x+3，
解得：；
过点D作DE⊥CP于点E，则DEC= AOB =90°，DE// OA，
∴EDC=OAB，
∴△DEC∽△AOB，
∴，
∵AO= 4，AB = 5，DE=t-
∴CD=
②∵CD=，CD边上的高= ，
∴，
∴为定值；要使OC边上的高h的值最大，只要OC最短
因为当OC⊥AB时OC最短，此时OC的长为，BCO=90°，
∵AOB=90°，
∴COP=90°-BOC=OBA，
又∵CP⊥OA，
∴
∴，OP=，即t=，
∴当t为秒时，h的值最大。